【正文】 b2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3179。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。：正難則反。證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎?，無(wú)理式變?yōu)橛欣硎剑芎?jiǎn)化證明過(guò)程。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。x2y+xy2；（2+對(duì)滿足x+y+z=1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.165。)114+179。1的解集。a+b+,b,c206。(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)179。R,x0,y0,且x+y2。3+11180。n2{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn=ann206。因A、B的表達(dá)形式比較簡(jiǎn)單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。bca=bc=ab+(ab)(ac)a0bcacaAB=a+d(b+c)=a+ =ab c(ab)a【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。左=12(2a4+2b224+2c)=22412[(a24+b)+(b22244+c)+(c2244+a)]24≥12(2ab+2bc+2ca)=ab+bc+ca2發(fā)現(xiàn)縮小后沒(méi)有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的?！纠?】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥2a22。換元有下列三種途徑：途徑1：用均值換元法消元： 令 x=2a2+m，y=aa22m22則 x+y=(+m)+(m)=2m+222aa22≥a22途徑2：代入消元法： y=ax，0a2)2+a22≥a22中天教育咨詢電話：04768705333第2頁(yè)/共9頁(yè) 金牌師資，笑傲高考途徑3：三角換元法消元：令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]2p2013年數(shù)學(xué)VIP講義則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ]=a[12(sin2θ)]=a(12212212sin2θ)≥a22注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。(a+b)4a即要證237。239。在ab0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx+3+8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)，采用常規(guī)方法難以著手?！纠?】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。?177?！?f(1)=a+b+c，f(1)=ab+c ∴ b=12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)|+|f(1)|]≤12(1+1)≤1 ∴ |b|=（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c已知a，b，c0，且a+bc，設(shè)M=a4+a+bb+cc4+c，N=，則MN的大小關(guān)系是A、MN B、M=N C、M已知函數(shù)f(x)=xx3，x1，x2，x3∈R，且x1+x20，x2+x30，x3+x10，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能若a0，b0，x=111(+)2ab1a+b1ab，y=，z=，則A、x≥yz B、x≥zy C、y≥xz D、yz≥x設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、abab+ab C、（二）填空題設(shè)a0，b0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。（三）解答題1已知a0，b0，a≠b，求證：a+1已知a，b，c是三角形三邊的長(zhǎng)，求 證：1中天教育咨詢電話：04768705333第5頁(yè)/共9頁(yè)ab+c+ba+c+ca+b2?！?b383+c38。b219。a+cb+c（加法保序性）（3）ab,c0222。anbn,nanb(n206。acbd.（4）ab0,dc0,222。a2219。a(a0)219。a或x163。|a|+|b|（三角不等式）.（4）|a1+a2+L+an|163。++.3．：a,b,c206。a1+2++L+..n2232n25．利用基本不等式證明a2+b2+c2179。An8．證明：對(duì)于任意正整數(shù)R，有(1+1n1n+1)(1+).nn+11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1+n)1]1+++L+n(n1)1n 課后練習(xí)(1)方程xy=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組(2)在0,1,2,?，50這51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被2，3，4整除的有（）.（A）