【正文】 知a0,求證 a+(3).已知x , y , z是互不相等的正數(shù), 且x+y+z=1 , 求證:(1179。已知x2 , 求y=的最大值；x+2y=x+(x179。b，求證：a3+b3a2b+ab2（2）已知aa+b1+ab追蹤訓(xùn)練一１． 已知a,b,m206。體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想。(2)問v為多少時(shí), 經(jīng)過觀測(cè)點(diǎn)A的車流量(即單位時(shí)間通過的汽車數(shù)量)最大?第二篇：基本不等式與不等式基本證明課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對(duì)已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。5452121x1(x185。技巧四、活用常數(shù)例若x,y206。1a+b+1c)的最小值。2．利用“1”的代換型111+已知a,b,c206。R,a+b=1求證： a+++b+163。230。,1231。232。+a+b2.4．挖掘隱含條件證明不等式1246。+a,b206。1+247。b248。R+,a+b=11239。R,a+b=1的背后隱含237。239。2248。R,求證：+b+c+c+a179。(a+b)2222。解題時(shí)要注意a+b179。R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.+第三篇：基本不等式的證明課題：基本不等式及其應(yīng)用一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和a+b179。所以根據(jù)這一情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。2公式小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．(3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見過． 公式示：a+b179。8，并指出等號(hào)成立的條件。可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因?yàn)閍≠b等號(hào)不成立）。2ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會(huì)有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會(huì)想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會(huì)有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會(huì)有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究．4．推論師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式．⑦(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理1的推論．⑧(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理2的推論．當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)⑨(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧．三、小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。 c sin B=2c2sinAcos A=c2(a,b)，使得f39。第三，利用拉格朗日中值定理。(a+qh)h,0q1我們可以q的范圍來證明不等式。(x,1+x)使得f39。(0,1)使得ln(1+h)=f(h)f(0)=f39。(x)0則f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增。g使在(x)[a,b]上F39。(x)=ex+2x0于是得f(x)在x0上遞增故對(duì)x0有f(x)f(0)\f(x)0而(1+x)ex0所以F39。 g(x)f(x)179。1，則對(duì)于[0,1]中的任意x有p1163。1)則有f39。由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x=1和2111p1)=p1,f(0)=f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x=0和x=1)的函數(shù)值為f()=)p+(1所以22221f(x)在[0,1]的最小值為p1，最大值為1，從而對(duì)于[0,1]中的任意x有211163。1。(x0)fn(x0)2(xx0)+(xx0)+L(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+1!2!n!在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止絝39。0(或163。(0)2fn(0)nf(x)179。(0)2fn(0)n(x)+(x)+L(x)。(x)滿足：（1）在區(qū)間[a,b]上有二階導(dǎo)函數(shù)f39。(b)=0，則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f39。2(ba)證明：由f(x)在x=a和x=b處的泰勒公式，并利用f39。(x)(xa)22!f39。(x)(ba)2abf()=f(a)+(ax),22!42a+bf39。(x)f39。(x)f(h),(ba)224當(dāng)f39。39。4f(b)f(a)(abc)(ba)2參 考 文 獻(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.[1]鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)棟編，[2]趙煥光，林長(zhǎng)勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。39。(x)179。(h)(ba)2相減，得f(b)f(a)=,244f(b)f(a)1(ba)2即=f39。(h)(ba)2abf()=f(b)+(ah),22!42f39。(h)f(x)=f(b)+(xb)2,于是2!a+bf39。(b)=0，得f(x)=f(a)+f39。(c)179。(x)，（2）f39。f(0)+1!2!n!帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)