【文章內(nèi)容簡介】 179。2ab 即a+b179。2ab ∴a+b179。ab⑤2(當且僅當a=b時取“=”號)．這就是課本中基本不等式2 我們把a+b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。2公式小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．(3)四個公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而2ab=4180。ab=4SDABC 2如上左圖所示，顯然有c179。4180。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過． 公式示：a+b179。ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2（三）例題已知x，y∈R，證明：+xy+179。2，并指出等號成立的條件。yx已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a+b179。8，并指出等號成立的條件。22已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4（其中一題作為練習）（四）應(yīng)用下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a+b，239?？捎嬎愕镁匦蔚拿娣eS=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因為a≠b等號不成立）。2a+b2)(ab)2，即S′，得（（五）作業(yè)練習冊P10/6第四篇：基本不等式的證明重要不等式及其應(yīng)用教案教學目的(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力．教學過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．二、推導(dǎo)公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③(當且僅當a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有④(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加．3．再探索師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．三式疊加，并應(yīng)用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a2bc＋b2ca＋c2ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(當且僅當a=b=c時取“=”號)．師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果．這些問題留給同學們課外去研究．4．推論師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．⑦(當且僅當a=b時取“=”號)．這就是課本中定理1的推論．⑧(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)⑨(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．何平均數(shù)．⑨式表明：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學掌握n=3時的兩個公式，即⑦和⑧．三、小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)