基本不等式全題型(編輯修改稿)
2025-09-01 04:52 本頁面
【文章內容簡介】 ，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件．(2)可以考慮利用函數的單調性，但要注意變量的取值范圍．規(guī)范解答解 方法一 y＝＝＋≥＋2＝2＝2≥2＝2＝.[10分]當且僅當a＝b＝時，y＝取最小值，最小值為.[12分]方法二 y＝＝ab＋＋＋＝ab＋＋＝ab＋＋＝＋ab－2.[8分]令t＝ab≤2＝，即t∈.又f(t)＝＋t在上是單調遞減的，[10分]∴當t＝時，f(t)min＝，此時，a＝b＝.∴當a＝b＝時，y有最小值.[12分]溫馨提醒 (1)這類題目考生總感到比較容易下手．但是解這類題目卻又常常出錯．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件：即一正、二定、三相等．否則求解時會出現(xiàn)等號成立、條件不具備而出錯．(3)本題出錯的原因前面已分析，關鍵是忽略了等號成立的條件.方法與技巧1．基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(式)的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點．2．恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定的代數式要進行適當變形．比如：(1)當x2時，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4.(2)0x，x(8－3x)＝(3x)(8－3x)≤2＝.失誤與防范1．使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．2．在運用重要不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件．3．連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．題型四：利用基本不等式整體換元例2：若正數 a，b 滿足 ab＝a＋b＋3，求 ab 及 a＋b 的取值范圍． 思維突破：本題主要考查均值不等式在求最值時的運用，并體現(xiàn)了換元法、構造法等重要思想．自主解答：方法一：由ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0. 即(－3)(＋1)≥0.∵≥0，∴＋1≥1.故－3≥0，∴ab≥9.當且僅當a＝b＝3時取等號．又∵≤，∴ab＝a＋b＋3≤2.當且僅當a＝b＝3時取等號．即(a＋b)2－4－12≥0，(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.∵a＋b＋2＞0，有a＋b－6≥0，即a＋b≥6.∴a＋b的取值范圍是[6，＋∞)．方法二：由ab＝a＋b＋3，則b＝.ab＝a＋＝a＋4＋＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當a＝b＝3時取等號．∴ab的取值范圍是[9，＋∞)．由ab＝a＋b＋3，得b＝，a＋b＝a＋＝a＋1＋＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6，當且僅當a＝b＝3時取等號．∴a＋b的取值范圍是[6，＋∞)．技巧總結：整體思想是分析這類題目的突破口，即a＋b與ab分別是統(tǒng)一的整體，把a＋b 轉換成ab 或把ab 轉換成a＋b.例3：已知正數a，b滿足a＋2b＝1，則＋的最小值是____．試解：＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.易錯點評：多次利用基本不等式解題，沒有考慮等號能否同時成立。在解題過程中先后兩次用到了重要不等式，第一次等號成立的條件是“當且僅當 a＝2b 時”；而第二次等號成立的條件是“當且僅當＝時”；這顯然不可能同時成立，因此等號取不到．3．已知x0，y0，且2x＋y＝1，則＋的最小值是_________．答案 8解析 因為＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，等號當且僅當y＝，x＝時成立．例：已知x0，y0，且2x＋y＝1，則＋的最小值為________；解析 ∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.當且僅當＝時，取等號．例：已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．思維突破：“整體代換”，將1用＋代替，則x＋y＝(x＋y)，再化簡，用基本不等式求解．解析：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16.當且僅當＝且＋＝1，即x＝12，y＝4時取等號．∴當x＝12，y＝4時，x＋y有最小值為16.總結：已知條件與“1”有關，常利用“1”進行整體代換，轉化為能使積為定值的形式．例：已知x，y為正實數，且＋＝1，求x＋y的最小值．解析：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝17＋＋≥17＋2＝25.當且僅當＝且＋＝1時，等號成立．∴x＝5，y＝20時，x＋y有最小值25.4．(2012浙江)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是( )A. B. C．5 D．6答案 C解析 ∵x0，y0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋2
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