基本不等式的證明(編輯修改稿)
2024-10-27 20:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 種方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。四、教學(xué)過程（一）引入新課客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如，在周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關(guān)系的證明，常常會歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學(xué)習(xí)兩個最常用的基本不等式。（二）推導(dǎo)公式1．奠基如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b219。a+b=2ab 22充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)．以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索公式②反映了兩個實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運(yùn)用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有22a12+a2+L+an179。a1a2+a2a3+L+ana1④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．練習(xí)222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）4．基本不等式2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2如果a、b、∈R，那么ab206。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。2ab 即a+b179。2ab ∴a+b179。ab⑤2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)．這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)+b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。2公式小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．(3)四個公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而2ab=4180。ab=4SDABC 2如上左圖所示，顯然有c179。4180。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 公式示：a+b179。ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2（三）例題已知x，y∈R，證明：+xy+179。2，并指出等號成立的條件。yx已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a+b179。8，并指出等號成立的條件。22已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4（其中一題作為練習(xí)）（四）應(yīng)用下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的：在周長相等時(shí)，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a+b，239。可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因?yàn)閍≠b等號不成立）。2a+b2)(ab)2，即S′，得（（五）作業(yè)練習(xí)冊P10/6第三篇：基本不等式與不等式基本證明課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。技巧一：加減常數(shù)例求函數(shù)y=x+點(diǎn)評：當(dāng)各項(xiàng)符號不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。技巧二：巧變常數(shù)例已知0x點(diǎn)評：形如f(x)=x(1ax)或f(x)=x2(1ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。5
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