基本不等式的證明(編輯修改稿)
2024-10-27 20:07 本頁面
【文章內容簡介】 種方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。學生分析：學生在上新課之前都預習了本節(jié)內容，對上課內容有一定的理解。所以根據(jù)這一情況多補充了一些內容，增加了課堂容量。四、教學過程（一）引入新課客觀世界中，有些不等式關系是永遠成立的。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關系的證明，常常會歸結為一些基本不等式。今天，我們學習兩個最常用的基本不等式。（二）推導公式1．奠基如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？學生回答：a=b，因為a=b219。a+b=2ab 22充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．以公式①為基礎，運用不等式的性質推導公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結果．先考查三個實數(shù)．設a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③（當且僅當a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有22a12+a2+L+an179。a1a2+a2a3+L+ana1④(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加．3．練習222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）4．基本不等式2直接應用基本不等式1可以得到基本不等式2如果a、b、∈R，那么ab206。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。2ab 即a+b179。2ab ∴a+b179。ab⑤2(當且僅當a=b時取“=”號)．這就是課本中基本不等式2 我們把a+b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)。2公式小結(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．(3)四個公式中，②、⑤是基礎，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構造直角三角形ABC，使∠C=90176。，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而2ab=4180。ab=4SDABC 2如上左圖所示，顯然有c179。4180。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過． 公式示：a+b179。ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2（三）例題已知x，y∈R，證明：+xy+179。2，并指出等號成立的條件。yx已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a+b179。8，并指出等號成立的條件。22已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4（其中一題作為練習）（四）應用下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。證明：設矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a+b，239。可計算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因為a≠b等號不成立）。2a+b2)(ab)2，即S′，得（（五）作業(yè)練習冊P10/6第三篇：基本不等式與不等式基本證明課時九 基本不等式與不等式基本證明第一部分：基本不等式變形技巧的應用基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應用，利用基本不等式時，關鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。技巧一：加減常數(shù)例求函數(shù)y=x+點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項均為正。技巧二：巧變常數(shù)例已知0x點評：形如f(x)=x(1ax)或f(x)=x2(1ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應用時要注意活用。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。5
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