基本不等式的證明-預(yù)覽頁
【正文】 等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式an＋bn≥an1b＋abn1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強調(diào)．當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨立去獲取知識的過程．第二篇：基本不等式的證明課題：基本不等式及其應(yīng)用一、教學(xué)目的(1)認知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)和a+b179。所以根據(jù)這一情況多補充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。今天，我們學(xué)習(xí)兩個最常用的基本不等式。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。2公式小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．(3)四個公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 公式示：a+b179。8，并指出等號成立的條件?？捎嬎愕镁匦蔚拿娣eS=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因為a≠b等號不成立）。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。則f(x)=x3x+32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值32點評：通過加減常數(shù)，分離出一個常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。R，求(a+b+c)(+4x+16y=1，求x＋y的最小值。x(1x)等）1．輪換對稱型例1 若a,b,c是互不相等的實數(shù)，求證：a+b+c222ab+bc+：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技巧。.a,b206。1246。a+247。2248。R則 ab163。1230。231。232。a,b206。說明a,b206。4247。232。.5．用均值不等式的變式形式證明不等式a+b+例5已知a,b,c206。2a+b()179。R)即可。a+b2(其中a,b206。二、教學(xué)目標(biāo)：⑴知道算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念⑵探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；⑶能利用基本不等式證明簡單的不等關(guān)系。四、教學(xué)方法以學(xué)生自主探究為住，教師歸納總結(jié)，采用啟發(fā)式教學(xué)。ab。0，b179。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個不等式是正確的，但我們數(shù)學(xué)是需要嚴(yán)謹?shù)倪壿嬜C明，同學(xué)們可用哪些方法去證明呢？這便是本節(jié)課的第二個重點，也是難點。同時向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。a+b只要證0163。講完三種證明方法后，留一定時間給學(xué)生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點及書寫過程，加深他們的印象。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學(xué)生在黑板板演，以檢驗他們掌握情況與書寫格式是否合理。2 aba162．已知函數(shù)y=x+，x206。ab（a179。 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)23． 基本不等式的證明一、基礎(chǔ)過關(guān)111．已知a0，b0＋ab的最小值是________． ab2．若a，b∈R，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是________．112ba①a2＋b22ab②a＋b≥ab③＋④≥2 ababab1213．已知m＝a＋(a2)，n＝2x－2(x24．設(shè)0①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2③logab＋logba≤－2④logab＋logba2255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為________． xy6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．111①a＋b≥22②(a＋b)230。232。238。a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋∵a，b，c為不等正實數(shù)，111∴a＋b＋c＋.abc13．證明 方法一 ∵ab0，∴a－b∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b(a－b)b(a－b)16≥[2(a－b)b]2＋ b(a－b)16＝4(a－b)b＋ b(a－b)4≥42(a－b)b＝(a－b)4取“＝”時當(dāng)且僅當(dāng)：a－b＝b0且(a－b)b＝，b(a－b)即當(dāng)a＝2且b＝2時“＝”成立．方法二 ∵ab0，a2a∴a－b0，b(a－b)≤230。x＝即
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