基本不等式的證明-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式an＋bn≥an1b＋abn1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于2ab，因此，凡能用配方法證明的問(wèn)題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見(jiàn)配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào)．當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問(wèn)題時(shí)，這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識(shí)的過(guò)程．第二篇：基本不等式的證明課題：基本不等式及其應(yīng)用一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和a+b179。所以根據(jù)這一情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。2公式小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開(kāi) 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．(3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過(guò)的“勾股方圓圖”，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)見(jiàn)過(guò)． 公式示：a+b179。8，并指出等號(hào)成立的條件?？捎?jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因?yàn)閍≠b等號(hào)不成立）。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。則f(x)=x3x+32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值32點(diǎn)評(píng)：通過(guò)加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問(wèn)題的解決。R，求(a+b+c)(+4x+16y=1，求x＋y的最小值。x(1x)等）1．輪換對(duì)稱(chēng)型例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：a+b+c222ab+bc+：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對(duì)稱(chēng)不等式的常用技巧。.a,b206。1246。a+247。2248。R則 ab163。1230。231。232。a,b206。說(shuō)明a,b206。4247。232。.5．用均值不等式的變式形式證明不等式a+b+例5已知a,b,c206。2a+b()179。R)即可。a+b2(其中a,b206。二、教學(xué)目標(biāo)：⑴知道算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念⑵探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；⑶能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等關(guān)系。四、教學(xué)方法以學(xué)生自主探究為住，教師歸納總結(jié)，采用啟發(fā)式教學(xué)。ab。0，b179。展示完后，我便可提問(wèn)，剛才我們是從圖中直觀地看出這個(gè)不等式是正確的，但我們數(shù)學(xué)是需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，同學(xué)們可用哪些方法去證明呢？這便是本節(jié)課的第二個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。同時(shí)向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。a+b只要證0163。講完三種證明方法后，留一定時(shí)間給學(xué)生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點(diǎn)及書(shū)寫(xiě)過(guò)程，加深他們的印象。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學(xué)生在黑板板演，以檢驗(yàn)他們掌握情況與書(shū)寫(xiě)格式是否合理。2 aba162．已知函數(shù)y=x+，x206。ab（a179。 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)23． 基本不等式的證明一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)111．已知a0，b0＋ab的最小值是________． ab2．若a，b∈R，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是________．112ba①a2＋b22ab②a＋b≥ab③＋④≥2 ababab1213．已知m＝a＋(a2)，n＝2x－2(x24．設(shè)0①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2③logab＋logba≤－2④logab＋logba2255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為_(kāi)_______． xy6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．111①a＋b≥22②(a＋b)230。232。238。a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋∵a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，111∴a＋b＋c＋.abc13．證明 方法一 ∵ab0，∴a－b∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b(a－b)b(a－b)16≥[2(a－b)b]2＋ b(a－b)16＝4(a－b)b＋ b(a－b)4≥42(a－b)b＝(a－b)4取“＝”時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)：a－b＝b0且(a－b)b＝，b(a－b)即當(dāng)a＝2且b＝2時(shí)“＝”成立．方法二 ∵ab0，a2a∴a－b0，b(a－b)≤230。x＝即
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1