【正文】 a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋∵a，b，c為不等正實數(shù)，111∴a＋b＋c＋.abc13．證明 方法一 ∵ab0，∴a－b∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b(a－b)b(a－b)16≥[2(a－b)b]2＋ b(a－b)16＝4(a－b)b＋ b(a－b)4≥42(a－b)b＝(a－b)4取“＝”時當(dāng)且僅當(dāng)：a－b＝b0且(a－b)b＝，b(a－b)即當(dāng)a＝2且b＝2時“＝”成立．方法二 ∵ab0，a2a∴a－b0，b(a－b)≤230。ab（a179。a+b只要證0163。ab。R)即可。4247。231。a+247。R，求(a+b+c)(+4x+16y=1，求x＋y的最小值。8，并指出等號成立的條件。今天，我們學(xué)習(xí)兩個最常用的基本不等式。2bc＋b四、教學(xué)過程（一）引入新課客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠成立的。ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2（三）例題已知x，y∈R，證明：+xy+179。技巧四、活用常數(shù)例若x,y206。230。+a,b206。R,a+b=1的背后隱含237。(a+b)2222。五、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課利用多媒體顯示下面不等式，由學(xué)生完成比較大小。最后我用多媒體展示書寫過程，幫他們再次強化該方法的書寫步驟。(2,+165。xy＝1時取等號． －21，＋∞246。239。2a2+b2的大小 2如何證明例一第五篇： 基本不等式的證明[模版]a＋b167。 a+b成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=b時取“=” 2對于綜合法，在證明這道題時，如果學(xué)生沒有先想到，就把本方法在最后的方法中講，因為綜合法在本題中不易想到從哪個式子開始證明，但有了比較法和分析法后，學(xué)生自然能想到從哪個式子開始證明，同時講清綜合法的特點，即由條件，推倒結(jié)論。在這里，如果學(xué)生漏掉a和b是正數(shù)，可對他們進行修正，并可擴充到a179。常用179。231。.a248。,然后逆向運22248。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y=xx2(0x1)可變形為y=第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧。證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a+b，239。a1a2+a2a3+L+ana1④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．練習(xí)222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）4．基本不等式2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2如果a、b、∈R，那么ab206。BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而+如上左圖所示，顯然有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過．三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90176。三、教材、學(xué)生分析教材分析：兩個基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。ab=4SDABC 2如上左圖所示，顯然有c179。1)的值域。點評：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。230。+2222。2(a+b+c).點評：本題的關(guān)鍵在于對a+b,b+c,c+a的處理，如果能找出a+b與a+b間的關(guān)系，問題就可以222222解決，注意到+a+b179。:⑴通過對基本不等式證明的理解，體會三種證明方法，能準(zhǔn)確用三種證明中簡單的方法證明其它不等式問題。在學(xué)生的討論過程中，我也深入到學(xué)生中去，并做適當(dāng)?shù)狞c撥。例一1．設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：ba1+179?！?(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋8．證明 ∵xy＝1，x2＋y2(x－y)2＋2xy(x－y)2＋2∴＝x－yx－yx－y2＝(x－y)＋≥(x－y) x－yx－y＝－y＝x－y當(dāng)且僅當(dāng)237。238。a＋b≥4 aba2＋b22ab③2ab④ab a＋babbccaab7．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：＋≥a＋b＋2x＋y28．已知xy0，xy＝1，求證：－y二、能力提升19．若a1x10．若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍為________． x＋3x＋11111．設(shè)x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則＋________． xy12．已知a，b，c為不等正實數(shù)，且abc＝：＋三、探究與拓展1613．已知ab0，求證：a2＋(a－b)答案1．4 2.④ n 4.③ ．①②③bccaab7．證明 ∵a、b、c都是正數(shù)，也都是正數(shù)． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcacbccaab246。R+)，在這里，我認(rèn)為比較兩個變量的大小，可引導(dǎo)學(xué)生利用我們上課一開始比較具體數(shù)大小的方法，代幾個具體的數(shù)去比較。同時講明取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x，接著可向?qū)W生講解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念