基本不等式的證明-文庫吧
2025-10-13 20:07 本頁面
【正文】 cos A=c2sin2A≤c2=a2＋b2(∵sin2A≤1)(當且僅當sinA=1，A=45176。，即 a=b時取“=”號)．2三、應(yīng)用公式練習1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．a(chǎn)、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．]改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對任何實數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負實數(shù)也成立)．2．填空：(1)當a________時，an＋a－n≥________；(3)當x________時，lg2x＋1≥_________；(5)tg2α＋ctg2α≥________；(6)sinxcosx≤________；師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計．如表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．四、布置作業(yè)略．教案說明1．知識容量問題這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補充內(nèi)容．這是我教重點中學程度比較好的班級時的一份教案．實踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應(yīng)另當別論．補充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習也須壓縮．但講完兩個定理及其推論，實現(xiàn)教學的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學生就有可能舉一反三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學生的負擔．從整個單元來看，由于壓縮了講課時間，相應(yīng)的就增加了課堂練習的時間．反之，如果學生被動聽講，目標不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學生的程度有關(guān)，與教學是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當盡可能采用最優(yōu)教法，擴大學生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．2．教學目的問題近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學目的和要求時，開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學效果．在培養(yǎng)學生的能力方面，不僅要求學生能夠運用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學目的：一是在知識內(nèi)容上要求學生掌握四個公式；二是培養(yǎng)學生用綜合法進行推理的能力．當然，學生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學結(jié)果．考慮到中學數(shù)學的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個公式、定理的教學中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會收到深遠的效果．3．教材組織與教法選用問題實現(xiàn)上述教學目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時才能用綜合法．事實上，可以用比較法證明兩個數(shù)的平方和或三個數(shù)的立方和的不等式，但當n＞3，特別對n是奇數(shù)時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現(xiàn)行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：和它的等價形式當n=2，3時的特殊情況(當n=2時，ai的取值有所變化)．在中學不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時，這兩個特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式an＋bn≥an1b＋abn1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學歸納法就可以證出公式正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強調(diào)．當學生在教師的指導下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養(yǎng)學生今后獨立去獲取知識的過程．第二篇：基本不等式的證明課題：基本不等式及其應(yīng)用一、教學目的(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a+b179。ab(a、b∈R+，當且僅當a=b時取“=”號)，并能應(yīng)用它們證明一些不等2式．(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力．二、教學重難點重點：兩個基本不等式的掌握；難點：基本不等式的應(yīng)用。三、教材、學生分析教材分析：兩個基本不等式為以后學習不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一
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