【正文】 式+例已知a,b,c206。技巧二：巧變常數(shù)例已知0x點評：形如f(x)=x(1ax)或f(x)=x2(1ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時要注意活用。yx已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a+b179。ab⑤2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)．這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)+b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。對這些不等關(guān)系的證明，常常會歸結(jié)為一些基本不等式。sin2A≤c2=a2＋b2(∵sin2A≤1)(當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45176。第一篇：基本不等式的證明重要不等式及其應(yīng)用教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運用綜合法進(jìn)行推理的能力．教學(xué)過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當(dāng)a≠b時，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．二、推導(dǎo)公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)．以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．再探索師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．三式疊加，并應(yīng)用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a c sin B=2c2sinAcos A=c2例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。2ab ∴a+b179。2，并指出等號成立的條件。技巧一：加減常數(shù)例求函數(shù)y=x+點評：當(dāng)各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項均為正。R且滿足點評：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。R,且 a+b+c=1,求證 ++179。230。232。R,a+b=1求證：231。9 232。230。點評:由于238。2a+b179?；静坏仁降淖C明方法（比較法、分析法、綜合法）為我們證明不等關(guān)系提供了主要的方法及應(yīng)用。3+42+94+42332222問題探究、講授新課提出問題：能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？通過比較，學(xué)生不難得出，兩數(shù)和的一半大于兩數(shù)積的算術(shù)平方根。同時講明取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x，接著可向?qū)W生講解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念。對于分析法，我估計學(xué)生可能會想到思路，會說出大致的證明過程，但對該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個重要方法，接著講解該方法，即從結(jié)論出發(fā)，推到已知結(jié)論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學(xué)會規(guī)范的書寫，即“要證，只要證”的形式