基本不等式經(jīng)典例題精講(存儲版)
【正文】 34=1.當(dāng)且僅當(dāng)lgx=,即x=時(shí)取得等號.則有f(x)=3+lgx+ (0＜x＜1)的最小值為1.黑色陷阱：本題容易忽略0＜x＜1這一個(gè)條件.變式訓(xùn)練1已知x＜，求函數(shù)y=4x2+的最大值.思路分析：求和的最值，＜，則4x5＜0.解：∵x＜,∴4x5＜0.y=4x5++3=［(54x)+］+3≤2+3=2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)54x=,即x=1時(shí)等號成立.所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是1.變式訓(xùn)練2當(dāng)x＜時(shí)，求函數(shù)y=x+的最大值.思路分析：本題是求兩個(gè)式子和的最大值,但是x并不是定值,也不能保證是正值,所以,=（2x3）++=（）+,再求最值.解：y=（2x3）++=（）+，∵當(dāng)x＜時(shí)，32x＞0，∴≥=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=時(shí)取等號.于是y≤4+=，故函數(shù)有最大值.例4如圖341，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.圖341（1）現(xiàn)有可圍36 m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最小？思路分析：設(shè)每間虎籠長為x m，寬為y m，則（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)則是在xy=24的前提下來求4x+6y的最小值.解：（1）設(shè)每間虎籠長為x m，寬為y m，則由條件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為S，則S=xy.方法一：由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤，即S≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號成立.由解得 m，寬為3 m時(shí)，可使面積最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9y)y= (6y)y.∵0＜y＜6,∴6y＞0.∴S≤［］2=.當(dāng)且僅當(dāng)6y=y,即y=3時(shí)，等號成立，此時(shí)x= m,寬3 m時(shí)，可使面積最大.(2)由條件知S=xy=
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