基本不等式提高題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 本題考查基本不等式，涉及不等式的性質(zhì)和配湊的方法，屬中檔題． 11．（2015?赫章縣校級模擬）設(shè)x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2=4，則的最小值等于（ ?。．2B．4C．D．考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應用．分析：由x+y﹣x2y2=4可得x+y=x2y2+4，x＞0，y＞0．于是==xy+，再利用基本不等式即可得出．解答：解：由x+y﹣x2y2=4可得x+y=x2y2+4，x＞0，y＞0．∴=，當且僅當xy=2時取等號，因此的最小值等于4．故選：B．點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 12．（2014?鳩江區(qū)校級自主招生）已知實數(shù)a，b滿足a2+b2=1，則a4+ab+b4的最小值為（ ?。．﹣B．0C．1D．考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：三角函數(shù)的求值．分析：由a2+b2=1，可設(shè)a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答：解：∵a2+b2=1，∴可設(shè)a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．∴a4+ab+b4=cos4θ+cosθsinθ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2﹣2sin2θcos2θ+cosθsinθ=+1=，當sin2θ=﹣1時，上式取得最小值為0．故選：B．點評：本題考查了倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題． 13．（2014?四川二模）若x，y∈R，函數(shù)f（x）=（x+y）2+（﹣y）2的最小值是（ ?。．4B．0C．2D．1考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；不等式的解法及應用．分析：f（x）=（x+y）2+（﹣y）2表示（x，）與（﹣y，y）兩點間距離的平方，則問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=上的點到y(tǒng)=﹣x上的點的距離的最小值的平方，由曲線的性質(zhì)可求答案．解答：解：f（x）=（x+y）2+（﹣y）2表示（x，）與（﹣y，y）兩點間距離的平方，則問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=上的點到y(tǒng)=﹣x上的點的距離的最小值的平方，而兩曲線關(guān)于y=x對稱，∴（1，1）或（﹣1，﹣1）到（0，0）的距離的平方即為所求，d=2=2，故選：C．點評：該題考查函數(shù)的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，解決該題的關(guān)鍵是熟練式子的幾何意義并能正確轉(zhuǎn)化． 14．（2014?綿陽三模）設(shè)a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+b2+c2=12，則c的最大值和最小值的差為（ ?。．2B．C．D．考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題．分析：將c看成常數(shù)，求出a+b，ab，構(gòu)造方程x2﹣（2﹣c）x+c2﹣2c﹣4=0，應用判別式不小于0，解出不等式，求出c的最大值和最小值，作差即可．解答：解：∵a+b+c=2，∴a+b=2﹣c．∵a2+b2+c2=12，∴（a+b）2﹣2ab+c2=12，∴（2﹣c）2﹣2ab+c2=12，∴ab=c2﹣2c﹣4．于是a，b可以看成是關(guān)于x的方程x2﹣（2﹣c）x+c2﹣2c﹣4=0的兩根，∴△=（2﹣c）2﹣4（c2﹣2c﹣4）≥0，解得，﹣2≤c≤，∴c的最大值為，最小值為﹣2，即c的最大值和最小值的差為．故選C．點評：本題主要考查多元最值問題，解決的方法是將其中的一個看作常數(shù)，應用基本不等式或二次方程有實數(shù)解的條件，判別式不小于0，解出不等式． 15．（2014?金華模擬）“”稱為a，b，c三個正實數(shù)的“調(diào)和平均數(shù)”，若正數(shù)x，y滿足“x，y，xy的調(diào)和平均數(shù)為3”，則x+2y的最小值是（ ?。．3B．5C．7D．8考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；不等式的解法及應用．分析：由調(diào)和平均數(shù)的定義，結(jié)合已知得到x=，再由x＞0得到y(tǒng)＞1，把x=代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．解答：解：由“調(diào)和平均數(shù)”定義知，x，y，xy的調(diào)和平均數(shù)為，整理得：x+y+1=xy，x=，∵x=＞0，∴y＞1．則x+2y=====．當且僅當2（y﹣1）=，即y=2時上式等號成立．∴x+2y的最小值是7．故選：C．點評：本題考查了基本不等式求最值，在利用調(diào)和平均數(shù)的定義結(jié)合已知得到x、y的關(guān)系后，關(guān)鍵在于整理變形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中檔題． 16．（2014?黃岡模擬）若實數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=2，則xy+yz+zx的取值范圍是（ ?。．[﹣1，2]B．[1，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應用．分析：利用（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，可得x2+y2+z2≥xy+xz+yz，又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，即可得出．解答：解：∵（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，∴x2+y2+z2≥xy+xz+yz，∴xy+yz+zx≤2；又（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，∴xy+xz+yz≥=﹣1．綜上可得：﹣1≤xy+xz+yz≤2．故選：A．點評：本題考查了不等式的性質(zhì)和靈活應用乘法公式的能力，屬于中檔題． 17．（2014?惠州模擬）已知x，y滿足x≥0，x2+（y﹣2）2=2，則w=的最大值為（ ?。．4B．5C．6D．7考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應用．分析：首先將w的式子展開成3+，要求w的最大值，即求的最大值，運用不等式x2+y2≥2xy，當且僅當x=y時取等號，結(jié)合條件x2+（y﹣2）2=2，求出x，y，從而得到最大值．解答：解：w=可化為w=3+，要求w=的最大值，即求的最大值，∵x≥0，x2+（y﹣2）2=2，∴x≥0，2﹣≤y≤2，若x=0，則y=2，w=3，若x≥0，y=0，則不成立，∴x＞0，y＞0．∵x2+y2≥2xy，∴≤1，當且僅當取等號，即x=y=1時，w=取最大值，且為4．故選：A．點評：本題主要考查基本不等式及變形的運用，應注意等號成立的條件，即取最值的條件，有時要檢驗． 18．（2014?武清區(qū)三模）若k＞1，a＞0，則k2a2+取得最小值時，a的值為（ ?。．1B．C．2D．4考點：基本不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應用．分析：由基本不等式可得k2a2+≥當且僅當a=時取等號，又≥16，當且僅當=，即k=2時取等
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