基本不等式的證明-在線瀏覽
2024-10-27 20:07本頁面
【正文】 講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時，這兩個特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式an＋bn≥an1b＋abn1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強調(diào)．當學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨立去獲取知識的過程．第二篇：基本不等式的證明課題：基本不等式及其應(yīng)用一、教學(xué)目的(1)認知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a+b179。三、教材、學(xué)生分析教材分析：兩個基本不等式為以后學(xué)習不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。所以根據(jù)這一情況多補充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。今天，我們學(xué)習兩個最常用的基本不等式。a+b=2ab 22充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③（當且僅當a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有22a12+a2+L+an179。R+，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到22a）+）179。2ab ∴a+b179。2公式小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①配方② ③ 降換次元⑤(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．(3)四個公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。ab=4SDABC 2如上左圖所示，顯然有c179。21ab 2∴a＋b≥2ab 22(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 公式示：a+b179。2，并指出等號成立的條件。8，并指出等號成立的條件。求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大?？捎嬎愕镁匦蔚拿娣eS=ab，正方形的面積S=(a+b2)，2由基本不等式2，得a+bab0（因為a≠b等號不成立）。技巧一：加減常數(shù)例求函數(shù)y=x+點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項均為正。技巧三、分離常數(shù)例已知x179。1)的值域。則f(x)=x3x+32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值32點評：通過加減常數(shù)，分離出一個常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。R且滿足點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。R，求(a+b+c)(+4x+16y=1，求x＋y的最小值。點評：根據(jù)分母的特點，進行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。x(1x)等）1．輪換對稱型例1 若a,b,c是互不相等的實數(shù)，求證：a+b+c222ab+bc+：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技巧。R,且 a+b+c=1,求證 ++179。.a,b206。點評：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。1246。230。a+247。b+247。2248。232。R則 ab163。230。1230。R,a+b=1求證：231。231。179。232。9 232。a,b206。+2222。說明a,b206。230。4247。ab163。232。點評:由于238。.5．用均值不等式的變式形式證明不等式a+b+例5已
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