不等式3(基本不等式應(yīng)用與證明)合集五篇-資料下載頁
2024-10-28 23:35本頁面
【正文】 rmula在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x206。(a,b)，使得f39。(x)=拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。（2）我們可根據(jù)其兩種等價表述方式①f(b)f(a)=f39。(a+q(ba))(ba),0q1②f(a+h)f(a)=f39。(a+qh)h,0q1我們可以q的范圍來證明不等式。f(b)f(a)。ba11(x0)(1+)x1+x證明第一步變形1 ln(1+)=ln(1+x)ln(x)x第二步選取合適的函數(shù)和范圍令f(x)=lntt206。[x,1+x]第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理存在x206。(x,1+x)使得f39。(x)=f(1+x)f(x)(1+x)(x)即ln(1+x)ln(x)=1x而 x1+x1)而0x+165。 即ln(x1+x\ln(1+x)ln(x)例 ：h1且h185。0都有不等式成立：hln(1+h)h 1+h證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，$q206。(0,1)使得ln(1+h)=f(h)f(0)=f39。(qh)h=當(dāng)h0時有1qh+11+h,當(dāng)1h0時有11+qh1+h0,+qh1hh。1+h1+qh1h+h1+qh2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式我們在初等數(shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)。定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，那么（1）若在(a,b)內(nèi)f39。(x)0則f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增。（2）若在(a,b)內(nèi)f39。(x)0則f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)遞減。使用定理：要證明區(qū)間[a,b]上的不等式f(x)g(x)，只需令F(x)=f(x)。g使在(x)[a,b]上F39。(x)0（F39。(x)證明：令F(x)=ln(1+x)xex（x0）顯然F(0)=01ex+x21xx（x0）F39。(x)=e+xe=x1+x(1+x)e現(xiàn)在來證明ex+x210令f(x)=ex+x21顯然f(0)=0當(dāng)x0時f39。(x)=ex+2x0于是得f(x)在x0上遞增故對x0有f(x)f(0)\f(x)0而(1+x)ex0所以F39。(x)0故F(x)遞增又因為F(0)0所以F(x)0所以ln(1+x)xex成立3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式當(dāng)?shù)仁街泻小?”號時，不等式f(x)163。g(x)(或f(x)179。g(x))219。 g(x)f(x)179。0（或g(x)f(x)163。0），亦即等價于函數(shù)G(x)=g(x)f(x)有最小值或F(x)=f(x)g(有最大值。x)證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。1，則對于[0,1]中的任意x有p1163。xp+(1x)p163。1 2證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=xp+(1x)p(0163。x163。1)則有f39。(x)=pxp1p(1x)p1=p(xp1(1x)p1)令f39。(x)=0，可得xp1=(1x)p1，于是有x=1x，從而求得x=1。由于2函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，因而在閉區(qū)間[0,1]上有最小值和最大值。由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x=1和2111p1)=p1,f(0)=f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x=0和x=1)的函數(shù)值為f()=)p+(1所以22221f(x)在[0,1]的最小值為p1，最大值為1，從而對于[0,1]中的任意x有211163。f(x)163。1163。xp+(1x)p163。1。，既有p1p1224．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n+1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f39。(x0)f39。39。(x0)fn(x0)2(xx0)+(xx0)+L(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+1!2!n!在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止絝39。(0)f39。39。(0)2fn(0)nf(x)=f(0)+(x)+(x)+L(x)+Rn(x)1!2!n!在上述公式中若Rn(x)179。0(或163。0)則可得f39。(0)f39。39。(0)2fn(0)nf(x)179。f(0)+(x)+(x)+L(x)，1!2!n!f39。(0)f39。39。(0)2fn(0)n(x)+(x)+L(x)?；騠(x)163。f(0)+1!2!n!帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計算中有廣泛的應(yīng)用。用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。(x)滿足：（1）在區(qū)間[a,b]上有二階導(dǎo)函數(shù)f39。39。(x)，（2）f39。(a)=f39。(b)=0，則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f39。39。(c)179。4f(b)f(a)。2(ba)證明：由f(x)在x=a和x=b處的泰勒公式，并利用f39。(a)=f39。(b)=0，得f(x)=f(a)+f39。39。(x)(xa)22!f39。39。(h)f(x)=f(b)+(xb)2,于是2!a+bf39。39。(x)(ba)2abf()=f(a)+(ax),22!42a+bf39。39。(h)(ba)2abf()=f(b)+(ah),22!42f39。39。(x)f39。39。(h)(ba)2相減，得f(b)f(a)=,244f(b)f(a)1(ba)2即=f39。39。(x)f(h),(ba)224當(dāng)f39。39。(x)179。f39。39。(h)時，記c=x否則記c=h,那么f39。39。(c)179。4f(b)f(a)(abc)(ba)2參 考 文 獻(xiàn)《數(shù)學(xué)分析》上冊，高等教育出版社，1990.[1]鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，[2]趙煥光，林長勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊，四川大學(xué)出版社，2006。[3]歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.
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