【正文】 ................................................................................................. 2 微分中值定理證明不等式的步驟 ......................................................................... 3 第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 ............................................................................. 4 羅爾中值定理的意義及分析 ................................................................................. 4 羅爾中值定理的應(yīng)用 ............................................................................................ 4 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 ..................................................................... 5 拉格朗日中值定理的意義及分析 ......................................................................... 5 拉格朗日中值定理證明不等式 ............................................................................. 5 第四章 利用柯西中值定理證明不等式 ............................................................................. 8 柯西中值定理的分析 ............................................................................................. 8 柯西中值定理證明不等式 ..................................................................................... 8 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 ........................................................................... 11 泰勒中值定理證明不等式的方法歸納 ............................................................... 11 ................................................................................... 11 第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式 ................................................................... 14 通過求極值點(diǎn)證明不等式 ................................................................................... 14 第七章 微分 中值定理證明不等式在解題中的應(yīng)用 ....................................................... 16 第八章 基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 ....................................................................... 18 第九章 研究總結(jié) ............................................................................................................... 20 參 考 文 獻(xiàn) ....................................................................................................................... 21 致 謝 ................................................................................................................................. 22 1 引 言 不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容 ,也是數(shù)學(xué)中的重要的方法和工具 .在微分學(xué)中 ,微分中值定理 ,函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要的結(jié)論都可以用來證明不等式 .本文通過幾個(gè)具體的例子來具體說明微分中值定理在證明不等式中的運(yùn)用 ,以及不同的微分中值定理在解決證明不等式的區(qū)別，并且還給出基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用 . 數(shù)學(xué)問題的解決關(guān)鍵在于我們對待數(shù)學(xué)問題的方法，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們能有意識地將數(shù)學(xué)問題系列化，解決數(shù)學(xué)問題的方法系列化，那么解決數(shù)學(xué)問題的能力將會得到升華 .在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不等式的證明是可以作為一個(gè)系列問題來看待的，不等式的證明是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一，其常用的方法有：比較法、綜合法、分析法、重要不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等，而有一些問題用上述方法解決是困難的，在學(xué)完中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的內(nèi)容以后，可以利用微分中值定理 、函數(shù)的單調(diào)性、常數(shù)變易法、函數(shù)極值性、凸凹性等知識解決一些不等式證明的問題 .因此，微分中值定理為證明不等式注入了新的活力，這一創(chuàng)造性思維有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系 .隨著時(shí)代的發(fā)展，科技的進(jìn)步及課程改革的不斷深入，微分中值定理的應(yīng)用必將滲透到社會領(lǐng)域的方方面面 . 2 第一章 知識準(zhǔn)備 微分中值定理定義 微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理 .微分中值定理是指羅爾中值定理 ,拉格朗日中值定理 ,柯西中值定理以及泰勒中值定理 .微分中值定理在數(shù)學(xué)分析及高等 數(shù)學(xué)中的地位是不容置疑的 ,且在解題中的應(yīng)用也是十分廣泛的 .在這里我們就利用微分中值定理證明不等式的方法作一簡述 . 首先我們要先介紹一下微分中值定理 : 定理 1 羅爾中值定理 :如果函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,且滿足 ( ) ( )f a f b? ,那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ( ) 0f ?? ? . 定理 2 拉格朗日中值定理 :如果函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) , 那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?. 當(dāng)函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)的變化范圍已知時(shí) ,有 ()m f x M???,于是可以利用拉格朗日定理來證明 ( ) ( ) ( ) ( )m b a f b f a M b a? ? ? ? ?一類的不等式 . 定理 3 柯西中值定理 :如果函數(shù) ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?,ab 內(nèi)每一點(diǎn)均不為零 ,那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g ???? ? ?? . 定理 4 泰勒中值定理 :如果函數(shù) ()fx在含有點(diǎn) 0x 的區(qū)間 D 上有直到 ( 1)n? 階的導(dǎo)數(shù) ,則函數(shù) ()fx在 D 內(nèi)可表示成一個(gè)多項(xiàng)式 ()nPx與一個(gè)余項(xiàng)式 ()nRx的和 : 2021 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )2 ! !n n nf x f xf x f x f x x x x x x x R xn???? ? ? ? ? ? ? ? ?. 其中 1 1()( ) ( )( 1 ) !n nn fR x xn ? ?? ????, 0( , )xx?? . 注 :當(dāng) 0n? 時(shí) ,即為拉格朗日中值定理 ,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 .這個(gè)公式又稱為帶有朗格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式 . 3 微分中值定理證明不等式的步驟 在微分學(xué)中 ,微分中值定理在證明 不等式中起著很大的作用 ,我們可以根據(jù)不等式的兩邊的代數(shù)式選取不同的函數(shù) ()fx,應(yīng)用微分中值定理得出一個(gè)等式之后 ,對這個(gè)等式根據(jù) x 取值范圍的不同進(jìn)行討論 ,得到不等式 ,以下通過例子來說明微分中值定理在證明不等式的應(yīng)用 . 因此給出利用微分中值定理證明不等式的步驟 （ 1） 構(gòu)造輔助函數(shù) ()fx （ 2）構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間 ? ?ba, （ 2） 利用 ? ?ba,?? ，對 f,?進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s 4 第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 羅爾中值定理的意義及分析 羅爾中值定理的幾何意義 :在滿足定理?xiàng)l件下 ,在曲線 ()y f x? 上必有一點(diǎn) ,使得過該點(diǎn) ( , ( ))Pf??的切線平行于 x 軸 . 在一般情況下 ,利用羅爾中值定理很容易證明關(guān)于方程的