【正文】 。x+y247。248。231。232。1231。2z247。+248。230。2 248。+248。2231。n或m177。=n+2n1n2B2\A179。i)i=1232。229。1x2ni=229。n的式子B,那么AB必定是一個整式形式,再對A++1xLxn206。故x1x+L179。248。231。8246。234。=12(uv+vw+uw)=當且僅當u=v=w時等號成立 此時a=b=c,x=y=z=12對于和式型不等式,不妨先研究局部性質(zhì),導(dǎo)出一些局部不等式,y,z206。=u2+v2+w21233。2231。248。ww2231。u+v+u+w247。11246。+232。R+,uv+vw+wu=1u2+1=(u+v)(u+w),且v2+1=(u+v)(v+w),w2+1=(u+w)(r+w),因此wcos2A21+cosA+1+xa+yc=au2u=2=bza3=u2=u179。in證:令u=sin(ab)+sin(bg)+sin(ga)則u=sinacosb+sinbcosg+singcosasinbcosasingcosbsinacosgsinacosa1=sinbcosb1singcosg構(gòu)造點A(sab)B(ibb)C(nsgg)則u=SVABCn很明顯,上面三點A,B,C都在單位圓x2+y2=1上因為圓內(nèi)接三角形以正三角形的面積最大所以當VABC為正三角形時,SVABC取得最大值,于是u163。這是一種比較特別又新穎的解法，雖然不常見，但有些不等式題采用此法可以顯得很容易。1此時w－2＝4s2qi206。x2+y=該式，的分子可視為點P(,x)y到直線l=x+=0的距離平方，分母可視為P點與原點的距離平方，因此利用幾何意義將原問題進行代換，作PA⊥l于點A設(shè)∠AOP=q60o163。6證：令z=x+y+4230。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學.”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又提示其幾何直觀使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形像巧妙和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，有時能使問題化難為易，化繁為簡。248。+248。+248。4z8231。y4x246。232。++9z246。+246。z98231。+，R求證a+bcb+3c8c+49a3+47a2。3235。+b+c206。向量做為中學數(shù)學一種新的工具，具在證明不等式中有時能達到異曲同工之效。y+z2232。=a2x2+230。231。212246。230。232。+2248。247。247。230。,y,z是不全為零的實數(shù)，求證xy+2yzx2+y2+z163。32證明，給每個式子配以常數(shù)k有a+b+cb+cc+aa+b+3=(abcb+c+1)+（c+a+1)+(a+b+1)=(a+b+c)(1b+c+1c+a+1a+b)=1112[(b+c)+(c+a)+(a+b)](b+c+1c+a+a+b)179。[(akb+(kxy)]=axby)故axby163。4abcd ,b,x,y,k206。4abcd證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得ab+cd2179。第一篇：證明不等式的幾種方法證明不等式的幾種方法黃啟泉04數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學1班30號近幾年來,有關(guān)不等式的證明問題在高考、競賽中屢見不鮮，由于不等式的證明綜合性強，對學生的思維靈活性與創(chuàng)造性要求較高，因此，許多考生往往“望題生嘆”，本人通過對該類題目認真分析與研究，總結(jié)以下幾種解題方法，下面結(jié)合一些熱點題加以簡要的介紹。0,ac+bd2179。R,k206。成立2．配湊常數(shù)法常數(shù)在不等式證明當中有著舉足輕重的作用，充分發(fā)揮好常數(shù)的“過渡”功能，將使證明的解決如虎添翼。12(1+1+1)=所以abb+c+c+a+c9a+b179。證：對不等式左邊分子式分母直接運用均值不等式顯然達到目標，為此引入待定系數(shù)a,b從而有：xy+2yz=2230。231。231。248。)230。b247。a1231。232。by+232。1246。248。,y,z是非負實數(shù)，具x+y+z＝1求證：證：構(gòu)造向量：ar=(x+y,x,y),br=(y+z,y,z),則cr=(z+x,z,x).ar+br+cr=(2,1,1),由ar+br+cr179。R+,且abc=1,求證：11a(b+c)+b(a+c)+1c(a+b)179。(B+C)+(A+C)+(A+B)249。234。179。b 48證：令b+3c=,則x+a9cb+3c+b8c+4a+3a+2b=1230。+y247。1230。61232。yz247。1230。x+y+9y246。6231。16231。48179。例179。z2=(x)231。q163。n[，]可=0y,=時0w取最小值,=,y=32時，w取最大值。例,b,g206。三角函數(shù)蘊涵著豐富的公式與性質(zhì),求運用這些公式與性質(zhì)巧妙地解決某些不等式的證明問題 例,b,c,x,滿y足zcy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c求證:xy1+x+1+y+z1+z179。u2u230。u+vu+w247。同理1+cosB179。248。232。所以不等式左邊179。+u+v+232。(u2uv+v2)+(v2vw+w2)+(u2uv+w22235。R+且x4+y4+z4=證x3z31x+y31y+1z179。(98x8+81x8)249。234。因此x(1x)163。x+y3+z)=當且僅當x=y=z=.如果不等式A179。R2,且x+x+L+xn=1.求證x2n1x+x11x+L+x21x179。(1+xi)=n+1i=11xii=1nn222B+A=229。n1+2nxi230。n21x2246。2n1nB2=2n1n(n+1+A)2從而易推得A179。n的形式,然后再應(yīng)用上述配復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,三角形式與幾何形式將代數(shù),巧妙運用復(fù)數(shù)的性質(zhì)也可以使很多問題”柳暗花明”,y,z206。232。231。同理:y2+z2+yz=230。246。231。247。z+x246。2247。x247。1246。+yi,22232。z2=231。1246。+xi2248。參考文獻：[1]中學數(shù)學研究 [2]中學教研 [3]中學數(shù)學教學 [4]高中數(shù)學 第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ