【正文】 第一篇：證明不等式的幾種方法證明不等式的幾種方法黃啟泉04數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班30號(hào)近幾年來(lái),有關(guān)不等式的證明問(wèn)題在高考、競(jìng)賽中屢見(jiàn)不鮮，由于不等式的證明綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的思維靈活性與創(chuàng)造性要求較高，因此，許多考生往往“望題生嘆”，本人通過(guò)對(duì)該類題目認(rèn)真分析與研究，總結(jié)以下幾種解題方法，下面結(jié)合一些熱點(diǎn)題加以簡(jiǎn)要的介紹。1． 運(yùn)用重要不等式法，一些重要不等式如均值不等式，柯西不等式等在證明一些不等式題目中往往能取得一種立桿見(jiàn)影的效果。例1，已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)179。4abcd證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得ab+cd2179。0,ac+bd2179。0.\(ab+cd)(ac+bd)179。(ab+cd)(ac+bd)179。4abcd ,b,x,y,k206。R,k206。1,且a2+b22kab=1,x2+y22kxy=163。證：因?yàn)閍2+b22kab=1,所以(akb)2+2=1L(1)同樣的，2+(kxy)2=1L(2)運(yùn)用柯本不等式式解：（1）左*（2）左179。[(akb+(kxy)]=axby)故axby163。成立2．配湊常數(shù)法常數(shù)在不等式證明當(dāng)中有著舉足輕重的作用，充分發(fā)揮好常數(shù)的“過(guò)渡”功能，將使證明的解決如虎添翼。,b,c206。R，求證acb+c+bc+a+a+b179。32證明，給每個(gè)式子配以常數(shù)k有a+b+cb+cc+aa+b+3=(abcb+c+1)+（c+a+1)+(a+b+1)=(a+b+c)(1b+c+1c+a+1a+b)=1112[(b+c)+(c+a)+(a+b)](b+c+1c+a+a+b)179。12(1+1+1)=所以abb+c+c+a+c9a+b179。3=32，當(dāng)a=b=c時(shí)，可以取等號(hào)，故命題得證。當(dāng)直接運(yùn)用重要不等式較難達(dá)到目標(biāo)時(shí)，有時(shí)可引入?yún)?shù)作為待定系數(shù)再根據(jù)題意解方程達(dá)到目標(biāo)。,y,z是不全為零的實(shí)數(shù)，求證xy+2yzx2+y2+z163。證：對(duì)不等式左邊分子式分母直接運(yùn)用均值不等式顯然達(dá)到目標(biāo)，為此引入待定系數(shù)a,b從而有：xy+2yz=2230。231。246。230。231。232。247。247。231。231。246。247。248。232。247。+2248。)230。1231。z246。232。b247。248。163。230。a1231。x2+y2246。230。212246。232。22a247。+248。231。by+232。bz247。248。=a2x2+230。1246。21231。2a+b247。y+z2232。248。b令a=1+b=1即a=b=22ab解xy+2yz163。x+y2+z)即xy+2yzx2+y2+z163。向量做為中學(xué)數(shù)學(xué)一種新的工具，具在證明不等式中有時(shí)能達(dá)到異曲同工之效。,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，具x+y+z＝1求證：證：構(gòu)造向量：ar=(x+y,x,y),br=(y+z,y,z),則cr=(z+x,z,x).ar+br+cr=(2,1,1),由ar+br+cr179。ar+br+cr代入原式成立易知x=y=z=13時(shí)取等號(hào)。5．倒數(shù)變換法這里所說(shuō)的倒數(shù)變換是指將每一個(gè)字母都用其倒數(shù)的形式來(lái)代替，對(duì)一些分式不等式采用這一變換后，有時(shí)可將式子的結(jié)構(gòu)化簡(jiǎn)從而為不等式的證明找到契機(jī)。+b+c206。R+,且abc=1,求證：11a(b+c)+b(a+c)+1c(a+b)179。證：令A(yù)＝1a,B=b,C1=c,則A，B，C206。R，且ABC＝1此式左邊＝A+B+CA+B+C+B+CB+C+A+C+AA+B－3＝12233。235。(B+C)+(A+C)+(A+B)249。233。111249。234。++235。B+CA+CA+B3179。92－3＝32即原命題得證 注：倒數(shù)變換方法實(shí)質(zhì)是通過(guò)變換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，或?qū)⒉皇煜さ牟坏仁睫D(zhuǎn)化為熟透的不等式，需要注意的是，變量代換后的取值范圍可能有變化6分母置換法一般地，在分子不等式中當(dāng)一個(gè)分式的分子較簡(jiǎn)捷而分母相對(duì)較復(fù)雜時(shí)，通過(guò)對(duì)分母進(jìn)行代換可以使解題思路變得更順暢。例+b+c206。+，R求證a+bcb+3c8c+49a3+47a2。b 48證：令b+3c=,則x+a9cb+3c+b8c+4a+3a+2b=1230。y4x246。1230。z98231。+y247。+x248。6231。+246。1230。4z232。xz247。++9z246。61232。x248。16231。232。yz247。248。48由均值不等式解1230。y4x246。1230。z9x246。1230。4z8231。x+y+9y246。61232。247。+248。6231。+232。xz247。+248。16231。232。yz247。248。48179。118*4+16*6+16*126148=4748當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x時(shí)取等號(hào)。故原命題得證。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又提示其幾何直觀使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀形像巧妙和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，有時(shí)能使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。例179。0,x2+(yz)2=1,求證：5163。x+y163。6證：令z=x+y+4230。z2=(x)231。232。2248。x2+y=該式，的分子可視為點(diǎn)P(,x)y到直線l=x+=0的距離平方，分母可視為P點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方，因此利用幾何意義將原問(wèn)題進(jìn)行代換，作PA⊥l于點(diǎn)A設(shè)∠AOP=q60o163。q163。90o,PA=易知OP=以sinq＝PAOP,163。sinq163。1此時(shí)w－2＝4s2qi206。n[，]可=0y,=時(shí)0w取最小值,=,y=32時(shí)，w取最大值。\5163。w163。這是一種比較特別又新穎的解法，雖然不常見(jiàn)，但有些不等式題采用此法可以顯得很容易。例,b,g206。R,求證163。3s(ianb)+(bgs)+in(ga)163。in證:令u=sin(ab)+sin(bg)+sin(ga)則u=sinacosb+sinbcosg+singcosasinbcosasingcosbsinacosgsinacosa1=sinbcosb1singcosg構(gòu)造點(diǎn)A(sab)B(ibb)C(nsgg)則u=SVABCn很明顯,上面三點(diǎn)A,B,C都在單位圓x2+y2=1上因?yàn)閳A內(nèi)接三角形以正三角形的面積最大所以當(dāng)VABC為正三角形時(shí),SVABC取得最大值,于是u163。三角函數(shù)蘊(yùn)涵著豐富的公式與性質(zhì),求運(yùn)用這些公式與性質(zhì)巧妙地解決某些不等式的證明問(wèn)題 例,b,c,x,滿y足zcy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c求證:xy1+x+1+y+z1+z179。證:由條件解b(+(a)z(x+)(b+c))0即b 2bcx+a2b2c2=0故2x=b+ca2bc同理可得y=c2+abbc+a2ac,z=2ab因a,b,c,x,y,z均為正數(shù),綜合上面3式可得b2+c2a2,a2+c2b2,a2+b2c2故以a,b,=cosA,y=cosB,z=cosC 則原不等式轉(zhuǎn)化為cos2Acos2Bcos2++C1+cosA1+cosB1+cosC179。又令u=cotA,v=cotB,w=,v,w206。R+,uv+vw+wu=1u2+1=(u+v)(u+w),且v2+1=(u+v)(v+w),w2+1=(u+w)(r+w),因此wcos2A21+cosA+1+xa+yc=au2u=2=bza3=u2=u179。u2u230。11246。2231。+232。u+vu+w247。248。cos2Bv3230。11246。同理1+cosB179。v2231。232。u+v+u+w247。248。cos2C3230。111+cosC179。ww2231。232。u+w+246。v+w247。248。所以不等式左邊179。u2+v2+w21230。u3+v3w3+v3u3+v3246。2231。+u+v+232。u+vu+v247。248。=u2+v2+w21233。(u2uv+v2)+(v2vw+w2)+(u2uv+w22235。)249。=12(uv+vw+uw)=當(dāng)且僅當(dāng)u=v=w時(shí)等號(hào)成立 此時(shí)a=b=c,x=y=z=12對(duì)于和式型不等式,不妨先研