【正文】 c+π32≤2例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+1證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通常考慮用數(shù)學(xué)歸納法來證明。s2mθ例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。還可采用平均值不等式求證。x2+y2=1,\可設(shè)\a=sina,b==sinb,y=cosb 證： Qa+b=1,22\ax+by=sinasinb+cosacosb=cos(ab)163。p2 ∴cosq≥0)∴y=sin ∵q + cosq=2sin(q+p163。1 ∴可設(shè)x=sinq(p2163。R，求證：1≤x+1x2≤22解：∵x206。R 又 1x179。q163。q163。1，思考題若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—1x1≤≤ 21+x22提示：類比萬能公式中的正弦公式。第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθcos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個步驟缺一不可。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。2bc+b2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項(xiàng)例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。正解：應(yīng)用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當(dāng)x0,y0時(shí)，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當(dāng)x,y有一個是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時(shí),所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xn