【正文】 2處展開，得 2f162。f231。162。下面就泰勒公式展開點x0206。(a,b)，有：f162。|f(x)f(a)|g(x)g(a)，x206。(x)，x206。(x)|179。(x)。j(x)單調(diào)遞增222。例1[2] 設0ab，證明不等式2alnblna1 22baa+bab分析：構造輔助函數(shù)，運用拉格朗日中值定理證明：先證明不等式的左邊，設f(x)=lnx(bxa0)，因為f(x)=lnx，在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，所以根據(jù)拉格朗日中值定理得: lnblna1=(lnx)162。0，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點x(axb)，使得：f(a)f(b)f162。則在(a,b)內(nèi)至少存在一點x(axb)，使得f(b)f(a)=f162。編輯本段其他重要不等式琴生不等式均值不等式絕對值不等式權方和不等式赫爾德不等式閔可夫斯基不等式貝努利不等式第二篇：不等式的證明方法牛方摘要:本文從微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凸性、等高等數(shù)學的層面對不等式證明方法進行歸納并列舉相關實例加以說明。②=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因為cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法． 【柯西不等式的應用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學中應給予極大的重視。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。 分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ab≥0a≥b；ab≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 ? BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有?，這只需證明B2為真，從而又有?，??這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。 換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結構或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。[1]編輯本段重要不等式柯西不等式對于2n個任意實數(shù)x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋?＋xnyn)^2≤（x1^2＋x2^2＋?＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋?＋yn^2）柯西不等式的幾種變形形式,bi0(i=1,2,?,n)則，當且僅當bi=lai(1163。巧拆常數(shù)： 例：設a、b、c 為正數(shù)且各不相等。關鍵詞: 微分中值定理 泰勒公式 函數(shù)的單調(diào)性 凸函數(shù)Inequality proof methodNiufang Abstract: This article from the midvalue theorem, Taylor formula, monotonicity of functions, function as the convexity, higher mathematics the facets of inequality proof method words: The midvalue theorems Taylor formula monotonicity of functions convex function前言不等式證明的基本方法很多，例如有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法、函數(shù)法、換元法、判別式法等十多種方法，但是有關不等式證明的高等數(shù)學的方法的研究一直缺乏系統(tǒng)歸納。(x)(ba)。(x)=g(a)g(b)g162。|x=x=，axbbax1x12a=2，（注意到a2+b2=2ab）2ba+b2alnblna 22baa+(x)=xaaxlnx+lna,bxa0,則j(a)=0，11a1(xa)2(+)=0 且j162。當xa0時，j(x)j(a)=0 特別地，令x=b，則有j(b)0，即lnblnaba1ab，所以原不等式成立。證明：當xa時，|f(x)f(a)|g(x)g(a)。0，故g(x)單調(diào)增加所以當xa時，g(x)g(a)，即g(x)g(a)0，由f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導，且對區(qū)間(a,x)內(nèi)的每一點都有j162。(a,x)=g(x)g(a)g162。(a,x)g(x)g(a)g162。162。(a,b)的不同情況來證明不等式。(x)0，試證：對于(a,b)內(nèi)的任意2個不同點x1和x2有230。1247。162。(x0)(x1x0)+f162。162。162。162。162。247。baM(ba)3f(x)dx|，其中M=max|f162。162。(x0)(xx0)+f162。[f162。(x)(xx0)2]dx|a2!bMM2f162。2a24b即|242。(b)=0，而欲證式中出現(xiàn)f(a)，f(b)，f162。(a)f162。4|f(b)f(a)| 2(ba)證明：將f(x)分別在a及b處展開，得f(x)=f(a)+f162。(a,x)，2!f162。(b)(xb)+上式中取x=a+b，得： 2f(a+bbaf162。+()，222!2a+bbaf162。+()，222!25 f（上面兩式相減，并且f162。(x2)f162。162。162。162。162。4|f(b)f(a)|。(a,b)，使得f(c)f162。(c)(xc)+f162。(c)=0，得：f(p)=f(c)+f162。2!兩邊同乘以f(c)，得：f(c)f(p)=f2(c)+f162。(x)0。(x)|179。[a,b]max|f162。max|f162。2x206。(x0)=0，將f(x)在x0處展開得：f162。162。(a,2f(x)=f(x0)+f162。|f162。162。(a,x0)。|f162。162。2(ba)由ⅰ)及ⅱ)得，存在x206。8max|f(x)|，2x206。162。[a,b] 展開點x0選取區(qū)間內(nèi)任意點的情況[6]當題中結論考察f(x)，f162。例1[7] 設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價可導，且|f(x)|163。B，其中A，B為非負常數(shù)，證明：|f162。ba2證明:將函數(shù)f(x)在x206。(x)(xx0)2，x206。(x1)(ax0)2，x1206。(x2)(bx0)2，x2206。(x0)(ba)+[f162。(x1)(ax0)2]，2即f162。162。162。2AB+[(bx0)2+(ax0)2]，ba2(ba)2AB+(ba)，再由x0的任意性，ba2即 |f162。例2 [8]2AB+(ba)，其中x206。(x)|，試證明：|242。[a,b]處展開得：f(x)=f(t)+f162。(t,x)，2!上式中分別取x=a及b得：f(a)=f(t)+f162。(a,t)，2!f162。(t)(bt)+上面兩式相加得：f(t)=11f162。162。