【正文】 ，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對(duì)于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x(axb)，使得f(b)f(a)=f162。(x)。(a,b)，有：f162。證明：將f(x)在x0=x1+x2處展開，得 2f162。(x2)(x1x0)2+(x2x0)2 2!2!因?yàn)閒162。axb24a+b處展開，得 2f162。(xx)dx=(ba)30242。(x1)(xa)2，x1206。162。|f162。(a,x)2!上式取x=p，并且f162。[a,b]證明 設(shè)f(x0)==max|f(x)|，若f(x0)=0，則有x206。(x0,x)，2!f162。(8|f(x0)|，x206。(x)|179。(x)|163。162。11(|f(b)|+|f(a)|)+[|f162。12證明:將f(x)在t206。(x1)(at)2+f162。(x2)(bt)2]dt，a4ab于是有242。(at)dt|+|242。242。f(a)179。(0,)時(shí)，cost+sint=2sin(t+)163。0），那么f(x)在[a,b]上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。f(t)dt]=242。 凸函數(shù)的性質(zhì)設(shè)f(x)在為凸函數(shù)，xi206。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無(wú)理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過(guò)程。1的解集。3+11180。左=12(2a4+2b224+2c)=22412[(a24+b)+(b22244+c)+(c2244+a)]24≥12(2ab+2bc+2ca)=ab+bc+ca2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件?！纠?】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。（三）解答題1已知a0，b0，a≠b，求證：a+1已知a，b，c是三角形三邊的長(zhǎng)，求 證：1中天教育咨詢電話：04768705333第5頁(yè)/共9頁(yè)ab+c+ba+c+ca+b2。logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c已知a，b，c0，且a+bc，設(shè)M=a4+a+bb+cc4+c，N=，則MN的大小關(guān)系是A、MN B、M=N C、M已知函數(shù)f(x)=xx3，x1，x2，x3∈R，且x1+x20，x2+x30，x3+x10，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能若a0，b0，x=111(+)2ab1a+b1ab，y=，z=，則A、x≥yz B、x≥zy C、y≥xz D、yz≥x設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、abab+ab C、（二）填空題設(shè)a0，b0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。在ab0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx+3+8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)，采用常規(guī)方法難以著手。換元有下列三種途徑：途徑1：用均值換元法消元： 令 x=2a2+m，y=aa22m22則 x+y=(+m)+(m)=2m+222aa22≥a22途徑2：代入消元法： y=ax，0a2)2+a22≥a22中天教育咨詢電話：04768705333第2頁(yè)/共9頁(yè) 金牌師資，笑傲高考途徑3：三角換元法消元：令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]2p2013年數(shù)學(xué)VIP講義則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ]=a[12(sin2θ)]=a(12212212sin2θ)≥a22注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。bca=bc=ab+(ab)(ac)a0bcacaAB=a+d(b+c)=a+ =ab c(ab)a【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。R,x0,y0,且x+y2。)114+179。：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。參考文獻(xiàn)：x1+x2+Lxnf162。162。a2242?？蓪?dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在(a,b)內(nèi)f162。sin(cost)，pppppt206。bbaf(x)dx證明:由的單調(diào)遞減性得： 若0x182。f162。[f162。(t,b)，2!f(b)=f(t)+f162。162。(x2)(bx0)2f162。162。(x)的關(guān)系時(shí)，展開點(diǎn)常選為該區(qū)間內(nèi) 任意點(diǎn), 然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担?duì)某些項(xiàng)作放縮處理，得所要的不等式。(x0,b)。(a,x0)，82即 |f162。(a,b)，且有f162。162。證明：將f(x)在x0=c處展開，得f(x)=f(c)+f162。(x2)|,|f162。(b)(x)|179。162。|242。(x0)(x2x0)+上面兩式相加，得：f(x1)+f(x2)=2f(x0)+f162。f231。|f(x)f(a)|g(x)g(a)，x206。j(x)單調(diào)遞增222。編輯本段其他重要不等式琴生不等式均值不等式絕對(duì)值不等式權(quán)方和不等式赫爾德不等式閔可夫斯基不等式貝努利不等式第二篇：不等式的證明方法牛方摘要:本文從微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凸性、等高等數(shù)學(xué)的層面對(duì)不等式證明方法進(jìn)行歸納并列舉相關(guān)實(shí)例加以說(shuō)明。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。(x)(ba)。證明：當(dāng)xa時(shí)，|f(x)f(a)|g(x)g(a)。162。162。162。162。2a24b即|242。(a,x)，2!f162。(x2)f162。162。(c)=0，得：f(p)=f(c)+f162。[a,b]max|f162。162。(a,x0)。8max|f(x)|，2x206。B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，證明：|f162。(x2)(bx0)2，x2206。162。[a,b]處展開得：f(x)=f(t)+f162。162。由上式得： a1bf(x)dx=242。(bt)dt|)=，aa812即得：|242。f(a)dx=af(a)（1）0a242。bba242。2，于是得：222pp22(sint)cost0，再由函數(shù)的單調(diào)性得：cos(sint)=sin(p2sint)sin(cost)所以得：pp242。證明的一般過(guò)程：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，取定閉區(qū)間[a,b]。[f(x)f(t)]dt，a22a因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，所以g39。(a,b)，xi=1,2,3L,n,則f(x1)+f(x2)+L+f(xn)x+x2+L+xn163。：執(zhí)果索因。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過(guò)換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。121225（a+)+(b+)179。2180。中天教育咨詢電話：04768705333第1頁(yè)/共9頁(yè) 金牌師資，笑傲高考ab=12122013年數(shù)學(xué)VIP講義22+bc2222+ca2222=212(2ab2222+2bc2222+2ca)22+ca)+(ca2[(ab+bc)+(bc22+ab)]22≥(2abc+2abc2+2abc)=ab(a+b+c)1a+1c+【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：+（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a21bb2≥c21ab+1bc+1ac；b+c+a+ca+b≥a+b+c2。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、變形，實(shí)際上這種