【正文】 t)所以得：pp242。當(dāng)222pppt206。(0,)時，0cost)，0sint，而函數(shù)y=sint在(0,)上嚴(yán)格22222ppp調(diào)調(diào)遞增，于是只要證明當(dāng)t206。(0,)，而cos(sint)=sin(sint)，因為式，只需證明cos(sint)179。242。1sinx1x20dx證明:不等式兩邊的積分是無界反常積分，在兩邊的積分中分別作變量變換t=arccosx與t=arcsinx，原不等式化為242。cosx1x20dx179。f(x)dx0ab242。bba242。a0a(ba)af(x)dx179。ba242。bf(a)179。242。1ba242。1a0f(x)dx179。242。f(a)dx=af(a)（1）0a242。同理得： a0f(x)dx179。1，有f(x)179。a0af(x)dxb242。例1 設(shè)f(x)為[0,1]上的非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，證明：對于0182。ab242。[a,b]，則242。利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式 利用被積函數(shù)的單調(diào)性證明方法根據(jù)——定積分性質(zhì)之一：設(shè)f(x)與g(x)為定義在[a,b]上的兩個可積函數(shù)，若f(x)163。(bt)dt|)=，aa812即得：|242。(|242。162。(x1)(at)2dt|+|242。f162。f(x)dx|163。162。162。由上式得： a1bf(x)dx=242。162。162。f(t)dt242。162。162。f(t)(b+a2t)dt242。ba1b1b162。162。162。(t)(bt)+上面兩式相加得：f(t)=11f162。(x2)(bt)2，x2206。(a,t)，2!f162。162。(t,x)，2!上式中分別取x=a及b得：f(a)=f(t)+f162。162。[a,b]處展開得：f(x)=f(t)+f162。[a,b]baM(ba)3f(x)dx|163。(x)|，試證明：|242。ba2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，M=max|f162。例2 [8]2AB+(ba)，其中x206。故有 |f162。2AB+[(bx0)2+(ax0)2]，ba2(ba)2AB+(ba)，再由x0的任意性，ba2即 |f162。162。162。(x0)|163。162。162。(x1)(ax0)2]，2即f162。(x2)(bx0)2f162。(x0)(ba)+[f162。2!f(b)=f(x0)+f162。(x2)(bx0)2，x2206。2!f162。(x1)(ax0)2，x1206。(x0)(ax0)+f162。(x)(xx0)2，x206。(x0)(xx0)+f162。ba2證明:將函數(shù)f(x)在x206。2AB+(ba)，其中x206。B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，證明：|f162。162。例1[7] 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價可導(dǎo)，且|f(x)|163。162。[a,b] 展開點x0選取區(qū)間內(nèi)任意點的情況[6]當(dāng)題中結(jié)論考察f(x)，f162。8max|f(x)| 2x206。162。162。8max|f(x)|，2x206。162。2(ba)由ⅰ)及ⅱ)得，存在x206。8|f(x0)|，x206。162。(x)|，x206。|f162。162。(a,x0)。ⅱ)當(dāng)x0206。162。(x)|，x206。|f162。162。(a,2f(x)=f(x0)+f162。162。162。(x)(xx0)2，x206。(x0)=0，將f(x)在x0處展開得：f162。0，于是x0206。2x206。(x)|179。max|f162。(x)|179。[a,b]max|f162。[a,b](ba)x206。(x)|179。[a,b]max|f162。(x)0。(x)f(c)(pc)2，2!因為f(c)f(p)0，所以有f(c)f162。2!兩邊同乘以f(c)，得：f(c)f(p)=f2(c)+f162。(x)(pc)2，x206。(c)=0，得：f(p)=f(c)+f162。(x)(xc)2，x206。(c)(xc)+f162。(x)0。(a,b)，使得f(c)f162。例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二價可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點p206。4|f(b)f(a)|。162。162。于是有(ba)2|f(b)f(a)|163。162。162。162。162。162。(x1)|163。(x2)f162。(b)=0，得：(ba)2(ba)2|f(b)f(a)|=|f162。+()，222!25 f（上面兩式相減，并且f162。(x2)ba2)=f(b)+f162。+()，222!2a+bbaf162。(x1)ba2)=f(a)+f162。(b)(xb)+上式中取x=a+b，得： 2f(a+bbaf162。(x2)(xb)2，x2206。(a,x)，2!f162。162。4|f(b)f(a)| 2(ba)證明：將f(x)分別在a及b處展開，得f(x)=f(a)+f162。162。(a)f162。(x)，展開點常選為區(qū)間兩端點a，b，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的項，可得待證的不等式。(b)=0，而欲證式中出現(xiàn)f(a)，f(b)，f162。abM(ba)3 展開點選取區(qū)間端點的情況[4]證明思想：當(dāng)條件中出現(xiàn)f162。2a24b即|242。(x)(xx0)2dx|163。(x)(xx0)2]dx|a2!bMM2f162。2af162。[f162。(x)(xx0)2 2!上式在[a,b]作定積分，然后取絕對值|242。(x0)(xx0)+f162。(x0)(xx0)+其中x是x0與x之間的某個數(shù)。162。(x)|。baM(ba)3f(x)dx|，其中M=max|f162。2248。247。a+b246。162。162。162。162。162。(x0,x2)2!f(x2)=f(x0)+f162。162。(x1)(x1x0)2,x1206。(x0)(x1x0)+f162。(x0)(xx0)+其中x是x0與x之間的某個數(shù)。162。2248。1247。f(x1)+f(x2)。(x)0，試證：對于(a,b)內(nèi)的任意2個不同點x1和x2有230。例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且f162。(a,b)的不同情況來證明不等式。(x0)(xx0)++L+2!n!(n+1)n+1f(x)(xx0)+(n+1)!其中x是x0與x之間的某個數(shù)，上式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n+1階泰勒公式。162。泰勒公式證明不等式 泰勒公式的內(nèi)容泰勒公式[1] 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對任一點x0206。(a,x)g(x)g(a)g162。(x)|=1222。(a,x)=g(x)g(a)g162。0，由柯西中值定理得：f(x)f(a)f162。0，故g(x)單調(diào)增加所以當(dāng)xa時，g(x)g(a)，即g(x)g(a)0，由f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且對區(qū)間(a,x)內(nèi)的每一點都有j162。(x)|f162。證明：當(dāng)xa時，|f(x)f(a)|g(x)g(a)。(x)|g162。當(dāng)xa0時，j(x)j(a)=0 特別地，令x=b，則有j(b)0，即lnblnaba1ab，所以原不等式成立。(x)0222。|x=x=，axbbax1x12a=2，（注意到a2+b2=2ab）2ba+b2alnblna 22baa+(x)=xaaxlnx+lna,bxa0,則j(a)=0，11a1(xa)2(+)=0 且j162。(z)的表達式，然后再對其進行放大或放小，這樣就可證明不等式。(x)=g(a)g(b)g162。(x)185。(x)(ba)。利用微分中值定理證明不等式拉格朗日中值定理[1]：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。關(guān)鍵詞: 微分中值定理 泰勒公式 函數(shù)的單調(diào)性 凸函數(shù)Inequality proof methodNiufang Abstract: This article from the midvalue theorem, Taylor formula, monotonicity of functions, function as the convexity, higher mathematics the facets of inequality proof method words: The midvalue theorems Taylor formula monotonicity of functions convex function前言不等式證明的基本方法很多，例如有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)法、換元法、判別式法等十多種方法，但是有關(guān)不等式證明的高等數(shù)學(xué)的方法的研究一直缺乏系統(tǒng)歸納。[2