【正文】 2若把題目中的條件f162。(x)0，而其余的條件不變，則結(jié)論改為x1+x2f(x1)+f(x2)f() 22230。=0，證明232。162。(x)(xx0)2 2!證明： 將f(x)在x0=f(x)=f(x0)+f162。162。(x0)(xx0)+ab1b=|242。162。(xx0)2dx|163。162。(b)=0，證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x使得|f162。(a)(xa)+f162。162。162。162。(a)f162。162。(x2)|+|f162。(x)|=max{|f162。(x1)|}，其中x=x1或x2。(x)|，4即|f162。2(ba) 展開點(diǎn)選取函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)的情況[5]證明思想：當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng), 展開點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)。162。162。162。162。例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，試證明：x206。8max|f(x)| 2x206。162。162。[a,b](ba)下設(shè)f(x0)185。162。(x)(xx0)2，即 f(x)=f(x0)+2!f162。(x0)(xx0)+|f(x0)|=f162。162。(x)|179。2(ba)a+b,b)時，上式取x=b，得： 2f162。162。(x)|179。(a,b)，使得：|f162。[a,b](ba)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價導(dǎo)數(shù)，所以二階導(dǎo)函數(shù)f162。(x)|179。(x)，f162。A，|f162。(x)|163。(a,b)處展開得：f(x)=f(x0)+f162。(x0,x)2!上式中分別取x=a及b得：f(a)=f(x0)+f162。(a,x0)。(x0,b)。162。(x0)=f(b)f(a)1[f162。(x1)(ax0)2]，(ba)2(ba)故|f162。(x2)|(bx0)2+|f162。(x0)|163。(a,b)。x206。(t)(xt)+f162。(t)(at)+f162。162。(t)(b+a2t)[f162。(x2)(bt)2 24上式兩端在[a,b]上對t作積分得：242。[f162。(x2)(bt)2]dt 2a4ab1b=242。(x1)(at)2+f162。[f162。(x2)(bt)2]dt，8abb1b|242。162。(x2)(bt)2dt|)aa8abbMM(ba)322163。baM(ba)3f(x)dx|163。f(x)dx163。b1，有242。f(a)所以242。baf(x)dx179。f(a)179。0f(x)dx179。af(x)dx，ab整理得：(ba)b因?yàn)?ba)242。baf(x)dx，b11，所以242。242。02sin(cost)dt，欲證不等ppppt206。(0,)時，有cost=sint或cost+sint163。所以推出20cos(sint)dt179。1cosx1x20dx179。[a,b]，定義的函數(shù)j(x)在[a,b]上可ax導(dǎo)，而且j162。0（或f162。（2）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f162。例1[9] 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明：242。tf(t)dttf(t)dt，則要證F(b)179。a242。(x)179。a+bbf(x)dx。lf(x1)+(1l)f(x2)，則稱f為[a,b]的凸 12函數(shù)。162。f(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=L=xn時等nn號成立。)x2證明:設(shè)f(x)=lnx，因?yàn)閒162。ln 222。n[1] 歐陽光中、朱學(xué)炎、金福臨、陳傳樟等，數(shù)學(xué)分析，（第三版下冊），[2] 裴禮文,：高等教育出版社， [3] 劉法貴, 左衛(wèi)兵，證明積分不等式的幾種方法[J].高等數(shù)學(xué)研究 2008,11(1):111124[4] 余力、[J].高等數(shù)學(xué)研究所，2003.（6）：15—17[5] 張?jiān)破G，Taylor公式的應(yīng)用補(bǔ)遺[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報，2007，26（5）：175—176 [6] 潘紅，儲亞偉，關(guān)于泰勒（Taylor）公式的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].科技資訊，2008，6（18）：247 [7] 劉瑜等，在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院，2008，23（8）：222 [8] 韓丹，帶有Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式的證明[J].大連教育學(xué)院學(xué)報，2004，（3）：54—57 [9] 鄧新春，潘勁松，大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)（中冊）[M].長沙：湖南教育出版社，2006： 161—167 [10] 吳明鑫，楊占民，王社寬，凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)有[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報，20003（1）第三篇：不等式證明不等式證明不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。放縮法的方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：2)利用基本不等式，如：(3)將分子或分母放大(或縮小)：：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時則有神奇的功效。當(dāng)a0(或0(或二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時則有神奇的功效。1++165。3；a2b2c2++179。+a,b206。179。0，求證：f(ab)|a|f().10.（本小題滿分10分）當(dāng)a,b206。21180。3180。N*.n33(Ⅰ)求a2的值；a2=4(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；an=n2(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式16.(本小題滿分12分)若不等式11++n+1n+2+1a對一切正整數(shù)n都成立，求正3n+12411++a1a2+17.an4整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25：．第五篇：不等式證明經(jīng)典金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學(xué)VIP講義【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b1。關(guān)鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：ab，ac，ad，故保留a，消b，c，d中任一個均可。不等號右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。為了達(dá)到目的，應(yīng)在系數(shù)上作調(diào)整?！?x+y22≤2x2+y222∴ x+y≥(x+y)2=a22思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。【例7】 已知ab0，求證：(ab)8a2a+b2ab(ab)8b2。a+b2ab=a+b2ab2b)(a(a+=(a2b)2ab=(a+b)b)(a8a2所證不等式可化為∵ ab0 ∴ ab ∴ ab0b)2(a2b)2(a+b)(a8b2b)2∴ 不等式可化為：(a+4ab)21(a+4bb)22236。238。239。=82(2)a2a24aa+3+8+8=2a8+82a≤282a=82a842=2令 g(b)=b24b+11232 ≥32 g(b)=(b2)2+中天教育咨詢電話：04768705333第3頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考∵ 3222013年數(shù)學(xué)VIP講義∴ g(b)f(a)注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過。b|≤|a|+|b|，|a1177。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。當(dāng)a0時|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b評注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|ab|≥|a||b|，又有|ab|≥|b||a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。1當(dāng)00且t≠1時，logat與log21t+1a22aba+1b+1 D、a+b≥2(ab1)22的大小關(guān)系是__________。金牌師資，笑傲高考1已知a≥0，b≥0，求證：1若a，b，c為正數(shù)，求證：1設(shè)a0，b0，且a+b=1，求證：(a+已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求證：a，b，c全為正數(shù)。中天教育咨詢電話：04768705333第6頁/共9頁