【正文】 12，證明：x，y，z∈［0，23］b+cax+2c+aby+2a+bcz≥2(xy+yz+zx)2≥2（1x+1y+1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niAim＜miAin；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求證：a+b≤2，ab≤難點(diǎn)磁場(chǎng)證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即證4(ab)－33(ab)+8≥0，即證ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)設(shè)a=121422214或，從而得證.+t1，b=12+∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜本資料從網(wǎng)上收集整理\(a+(=121a)(b+21b)=(1a+1a22180。16=.144t2顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=證法三：(比較法）12時(shí)，等號(hào)成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214a+1b+1254ab+33ab+8(14ab)(8ab)(a+)(b+)===179。 253。254。139239。222。4239。1,\4sin2a179。179。239。(a－d)2＜(b－c)2219。(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)3=3(a+b+c)+63=3∴3a+2+3b+2+3c+2≤33＜6 ∴：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得：2y2－2(1－x)y+2x2－2x+1212，得x2+y2+(1－x－y)2=12，整理成關(guān)于y的一元二=0，∵y∈R，故Δ≥012∴4(1－x)2－42(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設(shè)x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤23，∴x∈［0，23］］132+x′，y=2+y′，z=13132+z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′)+x′2+y′2+z′2+222(x′+y′+z′)13+x′+y′+z′≥2+x′+132(y162。2(xy+yz+zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y+zx+z+xy+x+yz)179。(x+y+z)(yz+yz22222222+zx+zx222+xy+xy)2222179。yz(yz)+zx(zx)+xy(xy)+x(yz)+y(zx)+z(xy)179。n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm+1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?ab≤a+b≤2，所以ab≤：設(shè)a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a+b237。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。第三篇：不等式證明不等式的證明比較法證明不等式a2b2abb0，求證：+b2a+b2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3179。 235。1ca（Ⅱ）b5.（1）求不等式x32x179。R,a+b=1ab2.（2）已知，求證：、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：分析法證明不等式“7要證明732”時(shí)作了如下分析，只需證明________________,只需證明___________,＋29+2，展開得9即,只需證明1418,________________,所以原不等式:+26+3,(7+2)(6+3)，因?yàn)?418成立。3+9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=|x1|。M={x|2x2}時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x2y+2baπππ22，b=y2z+，c=z2x+，236求證：a，b，.（12分）若x,y206。2180。180?！纠?】 已知0【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。由ad=bc得：d=bca1+ab+bc+caa+b+c+abc≥1。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。（2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。a2b+c+b+c4≥a，b2a+c+a+c4≥b，c2a+b+a+b4≥a 相向相加后即可。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。12所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個(gè)角度著手。239。4b(a+b)236。2ba+b238。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。a2177。從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(1)化作已知量，去表示待求量。中天教育咨詢電話：04768705333第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學(xué)VIP講義設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12+1b1a≤+141b B、≤1 D、141a≤+1a+1b≤≤1b≥1已知a，b，c均大于1，且logacn1若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n2）的大小關(guān)系是________________。1a)(b+1b)2541a+1b+1ca82013年數(shù)學(xué)VIP講義12(a+b)2+14(a+b)≥aa+ba。14不等式的證明不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a179。ba（對(duì)稱性）（2）ab219。acbc.（4）ab0222。a+cb+d.（3）ab,cd222。x2163。a.（2）|x|179。x179。b|163。(abc)+b2b2+c2c2+a2a3b3c3++163。N*，且各不相同，求證：1+++L+12131aa3an163。7．利用排序不等式證明Gn163。2ca；：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、++L+179。0\ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。2bc,c2+a2179。R+，且ab,，(abc)a+b+c3=a2abc3b2bac3c2cab3=aab3aac3bba3bbc3cca3ccb3ab3a=()bb()cbc3a()cac3179。abba，同理bbcc179。b179。+blgb179。a2163。L163。R+時(shí),a3+b3+c3179。++179。179。179。b179。b+++L+122222n2323nb3bnb11故b1179。1++L+2222n23n所以a1+評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2179。2ab,同理b2+c3179。256a2b2c3(a,b,c0)時(shí)，+b2a2+b2)163。0,求證：x1 +x211133求證：x1x2+x2x3 +x3179。An163。L,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn163。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號(hào)成立.