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高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法(★)-預(yù)覽頁

2025-10-28 10:42 上一頁面

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【正文】 163。(0)=0,即f(x)在(0,1)遞減∴f(x)f(0)=0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,122163。(x)0∴f39。39。f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證. 【例2】 當(dāng)x206。x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x1時,有11163。)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(1,+165。(x)0,即f(x)在x206。g(0)=0,即ln(x+1)+11179。(1,0)上為減函數(shù),在x206。當(dāng)x206。+1分析:本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)11,(x)=ln(x+1)+x+1證:先證左邊,令g(x)=ln(x+1)+111x1, 則g162。9 參考文獻(xiàn) 8 4 3 構(gòu)造形似函數(shù) 2 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)derivative目 錄 極值。函數(shù)的構(gòu)造。extreme value。2 換元法構(gòu)造函數(shù)4 作商比較法 ln(x+1)163。(x)0。(x)0 , 即g(x)在x206。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0, ∴當(dāng)x1時,g(x)179。(x)=1(左邊得證).x+11x1= x+1x+1 ∴ 當(dāng)1x0時,f162。(0,+165。0∴ ln(x+1)163。f(a)(或f(x)163。(x)=ln(1+x)+2ln(又得,f39。39。(x)f39。x+y163。2,所以可設(shè)x=rcosq,y=rsinq,22r2163。, 222121322 \r163。 222122163。(x)+f(x)此時可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf \F162。3d分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條不等式入手,:把a看成未知量進(jìn)行化簡,得一元二次不等式+2(b+c)a+(bc)2+4d163。d,ab179。(x)= Qbe,xb \lnb1, \b1\f162。R,且a0,b0,求證(ab)a+b22163。2時,+1n+22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做第二小題時,需要采用放縮來證明,(snsn1)證:(1)當(dāng)n179。== 即4 44f(2)616322(n+1)6+n+111115+2.\2+2+2+..........xnxn+1xn+2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法233。235。022233。0,解得1163。37249。,x206。 又由基本不等式得,221b+c1c+a(1b)c163。12.【例1】設(shè)a1,b1,c1,證明:b1c1a1 分析:本題只有一個已知條件,且結(jié)論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法向量法, 證:設(shè)=(a2b2c2v,),n=(b1,c1,a1)b1c1a1vvm 則n=a2b2c2b1+c1+a1 b1c1a1=a+b+c222abc =++a+b+c3cosqb1c1a1a2b2c2++a+b+c3163。b1c1a1 \1125【例1】 已知a0,b0,且a+b=1,求證(a+)(b+)179。0,1ab163。 又因為1=a+b179。0=4ab4ab1125 \(a+)(b+)179。231。1122)(cosa+)則原式=(sina+22sinacosasin4a+cos4a2sin2acos2a+2 =4sin22a(4sin2a)2+16 = 24sin2a22 Q sin2a163。25,24sin2a41125 \(a+)(b+)179。求a的取值范圍2x2+bx+c已知函數(shù)f(x)=(b<0)的值域是[1,3],2x+1(1)求b、c的值;(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x),當(dāng)x∈[-1,1]時的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;(3)若t∈R,求證 lg711≤F(|t-|-|t+|)≤566數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn),試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、前n項和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求,在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.【典例分析】題型一 求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題求得數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略:(1)若函數(shù)f(x)在定義域為D,則當(dāng)x∈D時,有f(x)≥M恒成立219。安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=can3+1-c,c∈N*,其中c為實數(shù).(Ⅰ)證明:an∈[0,1]對任意n∈N*11成立的充分必要條件是c∈[0,1];(Ⅱ)設(shè)0<c<,證明:an≥1-(3c)n1,n∈N*;(Ⅲ)設(shè)0<c<,證明:a12+a22+…+an2332>n+1-n∈N*.1-3c題型三 求數(shù)列中的最大值問題求解數(shù)列中的某些最值問題,有時須結(jié)合不等式來解決,其具體解法有:(1)建立目標(biāo)函數(shù),通過不等式確定變量范圍,進(jìn)而求得最值;(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性,然后確定最值;(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(08點評:此題較易入手,利用作差法即可比較大小, 若對x206。2,n206。(an),若229。N),記=Tk7.229。1246。n12n1248。1) 4aaD.a(chǎn)6a8()D.bn≤()1.已知無窮數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,則有aaA.<a6a8aaB.a(chǎn)6a8aaC.>a6a82.設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,bn=an+1+an+2,=an+an+3,則A.bn>B.bn<C.bn≥3.已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為正項等比數(shù)列,公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,則()A.a(chǎn)6=b6 A.9 A.S4a5<S5a4B.a(chǎn)6>b6 B.8 B.S4a5>S5a4C.a(chǎn)6<b6 C.7 C.S4a5=S5a4 S(n+32)Sn+11C.D.a(chǎn)6>b6或a6<b6()D.6 D.不確定()1504.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n,第k項滿足5<ak<8,則k=5.已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,其前n項的和為Sn,則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是()6.設(shè)Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,則函數(shù)f(n)=A.120B.130D.7.已知y是x的函數(shù),且lg3,lg(sinx-),lg(1-y)順次成等差數(shù)列,則A.y有最大值1,無最小值B.y有最小值()1111C.y有最小值,最大值1D.y有最小值-1,最大值11212()D.(-∞,-1]∪[3,+∞)8.已知等比數(shù)列{an}中a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[3,+∞)9.設(shè)3b是1-a和1+a的等比中項,則a+3b的最大值為()A.1()A.充分不必要條件 11.{an}為等差數(shù)列,若A.11B.必要不充分條件C.充分比要條件D.既不充分又不必要條件()B.2C.3D.410.設(shè)等比數(shù)列{an}的首相為a1,公比為q,則“a1<0,且0<q<1”是“對于任意n∈N*都有an+1>an”的a1,且它的前n項和Sn有最小值,那么當(dāng)Sn取得最小正值時,n= a10B.17C.19D.2112.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),對任意實數(shù)x、y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是1A.[,2)B.[,2]()1C.1)D.[1]S13.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a4-a2=8,a3+a5=26,記Tn=,如果存在正整數(shù)M,使得對一切正整數(shù)n,Tn≤M都n成立.則M的最小值是__________.14.無窮等比數(shù)列{an}中,a1>1,|q|<1,且除a1外其余各項之和不大于a1的一半,則q的取值范圍是________.(a+b)215.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,A.0B.1C.2D.416.等差數(shù)列{an}的公差d不為零,Sn是其前n項和,給出下列四個命題:①A.若d<0,且S3=S8,則{Sn}中,S5和S6都是{Sn}中的最大項;②給定n,對于一定k∈N*(k<n),都有ank+an+k=2an;③若d>0,則{Sn}中一定有最小的項;④存在k∈N*,使ak-ak+1和ak-ak1同號 .已知{an}是一個等差數(shù)列,且a2=1,a5=-5.(Ⅰ)求{an}的通項an;(Ⅱ)求{an}前n項和Sn的最大值.18.已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點(an,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;(Ⅱ)若列數(shù){b}滿足b=1,b=b+2an,求證:b 直接構(gòu)造函數(shù),然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性;再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增(減)區(qū)間,自變量越大,函數(shù)值越大(?。?,來證明不等式成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。=n(xa);n(Ⅱ)設(shè)fn(x)=xn-(xa),對任意n≥a,證明f ’n+1(n+1)>(n+1)f ’n(n)。=.24t244顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0,即a=b=(比較法)1時,等號成立 2∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴ab≤1 41125a2+1b2+1254a2b2+33ab+8(14ab)(8ab)(a+)(b+)===179。2139239。(1ab)179。179。238。41= 42sin22a+16179。253。24sin2a254。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。例5:已知a0,b0,2ca+b,求證:cc2ab<a<c+c2ab分析:觀察求證式為一個連鎖不等式,不易用比較法,又據(jù)觀察求證式等價于 |ac|<c2ab也不適用基本不等式法,用分析法較合適。(1)三角換元:是一種常用的換元方法,在解代數(shù)問題時,使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題,充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。s2m2θ+cos2θcosθ例9:已知p3+q3=2,求證:p+q≤2分析:本題已知為p、q的三次,而結(jié)論中只有一次,應(yīng)考慮到用術(shù)立方根,同時用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。(1+12k+1)①要證①式左邊>2k+32,只要證2k+121倍數(shù)添項若不等式中含有奇數(shù)項的和,可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項的和,然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b,b=c,c=a即a=b=c時,等號成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23,因為x,y是正數(shù),即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2 x+y)(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2,而此不等式恒成立,同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立,故存在c=23 使原不等式
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