【正文】 lna1=(lnx)162。|x=x=，axbbax1x12a=2，（注意到a2+b2=2ab）2ba+b2alnblna 22baa+(x)=xaaxlnx+lna,bxa0,則j(a)=0，11a1(xa)2(+)=0 且j162。(x)=xa2x2xax2xax由j162。(x)0222。j(x)單調(diào)遞增222。當(dāng)xa0時，j(x)j(a)=0 特別地，令x=b，則有j(b)0，即lnblnaba1ab，所以原不等式成立。例2[2] 設(shè)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且|f162。(x)|g162。(x)。證明：當(dāng)xa時，|f(x)f(a)|g(x)g(a)。分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和柯西中值定理 證明：因為g162。(x)|f162。(x)|179。0，故g(x)單調(diào)增加所以當(dāng)xa時，g(x)g(a)，即g(x)g(a)0，由f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且對區(qū)間(a,x)內(nèi)的每一點都有j162。(x)185。0，由柯西中值定理得：f(x)f(a)f162。(x)，x206。(a,x)=g(x)g(a)g162。(x)從而得：|f(x)f(a)||f162。(x)|=1222。|f(x)f(a)|g(x)g(a)，x206。(a,x)g(x)g(a)g162。(x)故原不等式成立。泰勒公式證明不等式 泰勒公式的內(nèi)容泰勒公式[1] 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對任一點x0206。(a,b)，有：f162。162。(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)(n)f(x)=f(x0)+f162。(x0)(xx0)++L+2!n!(n+1)n+1f(x)(xx0)+(n+1)!其中x是x0與x之間的某個數(shù)，上式稱為f(x)按(xx0)的冪展開的n+1階泰勒公式。下面就泰勒公式展開點x0206。(a,b)的不同情況來證明不等式。 展開點x0選取區(qū)間的中點情況[3]證明思想：選區(qū)間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ㄟ^兩式相加，并對某些項進(jìn)行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式。例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且f162。162。(x)0，試證：對于(a,b)內(nèi)的任意2個不同點x1和x2有230。x+x2246。f(x1)+f(x2)。f231。1247。2232。2248。證明：將f(x)在x0=x1+x2處展開，得 2f162。162。(x)(xx0)2 2!f(x)=f(x0)+f162。(x0)(xx0)+其中x是x0與x之間的某個數(shù)。上式中分別取x=x1及x2，f(x1)=f(x0)+f162。(x0)(x1x0)+f162。162。(x1)(x1x0)2,x1206。(x1,x0)2!f162。162。(x2)(x2x0)2,x2206。(x0,x2)2!f(x2)=f(x0)+f162。(x0)(x2x0)+上面兩式相加，得：f(x1)+f(x2)=2f(x0)+f162。162。(x1)f162。162。(x2)(x1x0)2+(x2x0)2 2!2!因為f162。162。(x)0，所以f(x1)+f(x2)2f(x0)，即f(x1+x2f(x1)+f(x2)) 22若把題目中的條件f162。162。(x)0改為f162。162。(x)0，而其余的條件不變，則結(jié)論改為x1+x2f(x1)+f(x2)f() 22230。a+b246。例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且f231。247。=0，證明232。2248。|242。baM(ba)3f(x)dx|，其中M=max|f162。162。(x)|。axb24a+b處展開，得 2f162。162。(x)(xx0)2 2!證明： 將f(x)在x0=f(x)=f(x0)+f162。(x0)(xx0)+其中x是x0與x之間的某個數(shù)。因為f(a+b)=0，所以有 2f(x)=f162。(x0)(xx0)+f162。162。(x)(xx0)2 2!上式在[a,b]作定積分，然后取絕對值|242。f(x)dx|=|242。[f162。(x0)(xx0)+ab1b=|242。2af162。162。(x)(xx0)2]dx|a2!bMM2f162。162。(x)(xx0)2dx|163。(xx)dx=(ba)30242。2a24b即|242。(xx0)2dx|163。abM(ba)3 展開點選取區(qū)間端點的情況[4]證明思想：當(dāng)條件中出現(xiàn)f162。(a)=f162。(b)=0，而欲證式中出現(xiàn)f(a)，f(b)，f162。162。(x)，展開點常選為區(qū)間兩端點a，b，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹?，消去多余的項，可得待證的不等式。例1 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二價可導(dǎo)，且f162。(a)f162。(b)=0，證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點x使得|f162。162。(x)|179。4|f(b)f(a)| 2(ba)證明：將f(x)分別在a及b處展開，得f(x)=f(a)+f162。(a)(xa)+f162。162。(x1)(xa)2，x1206。(a,x)，2!f162。162。(x2)(xb)2，x2206。(x,b)，2!f(x)=f(b)+f162。(b)(xb)+上式中取x=a+b，得： 2f(a+bbaf162。162。(x1)ba2)=f(a)+f162。(a)+()，222!2a+bbaf162。162。(x2)ba2)=f(b)+f162。(b)+()，222!25 f（上面兩式相減，并且f162。(a)f162。(b)=0，得：(ba)2(ba)2|f(b)f(a)|=|f162。162。(x2)f162。162。(x1)|163。(|f162。162。(x2)|+|f162。162。(x1)|)88記|f162。162。(x)|=max{|f162。162。(x2)|,|f162。162。(x1)|}，其中x=x1或x2。于是有(ba)2|f(b)f(a)|163。|f162。162。(x)|，4即|f162。162。(x)|179。4|f(b)f(a)|。2(ba) 展開點選取函數(shù)的極值點或最值點的情況[5]證明思想：當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項, 展開點常選為該函數(shù)的極值點或最值點。例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二價可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點p206。(a,b)，使得f(c)f(p)0，試證明：至少存在一點x206。(a,b)，使得f(c)f162。162。(x)0。證明：將f(x)在x0=c處展開，得f(x)=f(c)+f162。(c)(xc)+f162。162。(x)(xc)2，x206。(a,x)2!上式取x=p，并且f162。(c)=0，得：f(p)=f(c)+f162。162。(x)(pc)2，x206。(c,p)。2!兩邊同乘以f(c)，得：f(c)f(p)=f2(c)+f162。162。(x)f(c)(pc)2，2!因為f(c)f(p)0，所以有f(c)f162。162。(x)0。例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，試證明：x206。[a,b]max|f162。162。(x)|179。8max|f(x)| 2x206。[a,b](ba)x206。[a,b]證明 設(shè)f(x0)==max|f(x)|，若f(x0)=0，則有x206。[a,b]max|f162。162。(x)|179。8|f(x0)|=0222。max|f162。162。(x)|179。0，結(jié)論成立。2x206。[a,b](ba)下設(shè)f(x0)185。0，于是x0206。(a,b)，且有f162。(x0)=0，將f(x)在x0處展開得：f162。162。(x)(xx0)2，x206。(x0,x)，2!f162。162。(x)(xx0)2，即 f(x)=f(x0)+2!f162。162。(x)(xx0)2 于是有 f(x0)=f(x)2!a+b)時，上式取x=a，得： ⅰ）x0206。(a,2f(x)=f(x0)+f162。(x0)(xx0)+|f(x0)|=f162。162。(x)2!(ba)2(ax0)163。|f162。162。(x)|，x206。(a,x0)，82即 |f162。162。(x)|179。ⅱ)當(dāng)x0206。(8|f(x0)|，x206。(a,x0)。2(ba)a+b,b)時，上式取x=b，得： 2f162。162。(x)(ba)22|f(x0)|=(bx0)163。|f162。162。(x)|，x206。(x0,b)2!8即 |f162。162。(x)|179。8|f(x0)|，x206。(x0,b)。2(ba)由ⅰ)及ⅱ)得，存在x206。(a,b)，使得：|f162。162。(x)|179。8max|