【正文】 三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。 分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ab≥0a≥b；ab≤0a≤b”。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。 換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。[1]編輯本段重要不等式柯西不等式對于2n個任意實數(shù)x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋?＋xnyn)^2≤（x1^2＋x2^2＋?＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋?＋yn^2）柯西不等式的幾種變形形式,bi0(i=1,2,?,n)則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=lai(1163。關(guān)鍵詞: 微分中值定理 泰勒公式 函數(shù)的單調(diào)性 凸函數(shù)Inequality proof methodNiufang Abstract: This article from the midvalue theorem, Taylor formula, monotonicity of functions, function as the convexity, higher mathematics the facets of inequality proof method words: The midvalue theorems Taylor formula monotonicity of functions convex function前言不等式證明的基本方法很多，例如有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)法、換元法、判別式法等十多種方法，但是有關(guān)不等式證明的高等數(shù)學(xué)的方法的研究一直缺乏系統(tǒng)歸納。(x)=g(a)g(b)g162。當(dāng)xa0時，j(x)j(a)=0 特別地，令x=b，則有j(b)0，即lnblnaba1ab，所以原不等式成立。0，故g(x)單調(diào)增加所以當(dāng)xa時，g(x)g(a)，即g(x)g(a)0，由f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且對區(qū)間(a,x)內(nèi)的每一點都有j162。(a,x)g(x)g(a)g162。(a,b)的不同情況來證明不等式。1247。(x0)(x1x0)+f162。162。162。baM(ba)3f(x)dx|，其中M=max|f162。(x0)(xx0)+f162。(x)(xx0)2]dx|a2!bMM2f162。(b)=0，而欲證式中出現(xiàn)f(a)，f(b)，f162。4|f(b)f(a)| 2(ba)證明：將f(x)分別在a及b處展開，得f(x)=f(a)+f162。(b)(xb)+上式中取x=a+b，得： 2f(a+bbaf162。+()，222!25 f（上面兩式相減，并且f162。162。162。4|f(b)f(a)|。(c)(xc)+f162。2!兩邊同乘以f(c)，得：f(c)f(p)=f2(c)+f162。(x)|179。max|f162。(x0)=0，將f(x)在x0處展開得：f162。(a,2f(x)=f(x0)+f162。162。|f162。2(ba)由ⅰ)及ⅱ)得，存在x206。162。例1[7] 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價可導(dǎo)，且|f(x)|163。ba2證明:將函數(shù)f(x)在x206。(x1)(ax0)2，x1206。(x0)(ba)+[f162。162。2AB+[(bx0)2+(ax0)2]，ba2(ba)2AB+(ba)，再由x0的任意性，ba2即 |f162。(x)|，試證明：|242。(t,x)，2!上式中分別取x=a及b得：f(a)=f(t)+f162。(t)(bt)+上面兩式相加得：f(t)=11f162。f(t)(b+a2t)dt242。162。162。162。[a,b]，則242。1，有f(x)179。1a0f(x)dx179。ba242。cosx1x20dx179。(0,)時，0cost)，0sint，而函數(shù)y=sint在(0,)上嚴(yán)格22222ppp調(diào)調(diào)遞增，于是只要證明當(dāng)t206。原不等式得證。(x)179。（4）根據(jù)第2 步和第3 步即可得證。axa+xxF(x)=tf(t)dttf(t)dt，證明：設(shè)則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)242。0 凸函數(shù)的定義baxf(x)dx179。(x)，且f162。n1，有定理1得: f(x)=lnx在(0,+165。162。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。當(dāng)a0時，f(x)=ax2+bx+c0(或0)。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。.abbcac，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：1（Ⅰ）ab+bc+ac163。R。求證：1+x和1+放縮法證明不等式：+111++11180。N*,且+14n1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：a2=(2)求數(shù)列{an}的通項公式；an=2n1(3)證明：對一切正整數(shù)n，有11++a1a2a2a3+11． anan+12{an}=1,2Sn12=an+1n2n,n206。不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。試一試行嗎？a2b+cb2+(b+c)≥2a2b+cb2(b+c)=2aa+cc2+(a+c)≥2a+c(a+c)=2ba+b+(a+b)≥2c2a+b(a+b)=2c相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項全消去了。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。2239。根據(jù)表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b24b+f(a)=112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進行比較。an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。abc≥。n1若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n2）的大小關(guān)系是________________。從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時，|f(1)|≤1；當(dāng)x=1時，|f(1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(1)化作已知量，去表示待求量。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。4b(a+b)236。12所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。a2b+c+b+c4≥a，b2a+c+a+c4≥b，c2a+b+a+b4≥a 相向相加后即可。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧?！纠?】 已知0【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。2180。3+9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=|x1|。1ca（Ⅱ）b5.（1）求不等式x32x179。第四篇：不等式證明不等式的證明比較法證明不等式a2b2abb0，求證：+b2a+b2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x3+y3179。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。162。(x)0，則f(x)在[a,b]為凸函數(shù)。242。a2可導(dǎo)，x11bF(x)=[(xa)f(x)242。xbaxf(x)dx179。(x)163。242。當(dāng)222pppt206。1sinx1x20dx證明:不等式兩邊的積分是無界反常積分，在兩邊的積分中分別作變量變換t=arccosx與t=arcsinx，原不等式化為242。a0a(ba)af(x)dx179。1ba242。同理得： a0f(x)dx179。ab242。(|242。f(x)dx|163