單調(diào)性證明不等式(完整版)
【正文】 x＝0是f(x)的極值點(diǎn)得f′(0)＝0，所以m＝(x)＝e－ln(x＋1)，定義域?yàn)?－1，＋∞)，f′(x)＝＋11x函數(shù)f′(x)＝e－在(－1，＋∞)單調(diào)遞增，x＋1且f′(0)＝0，因此當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f′(x)(x)在(－1，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增．(2)證明：當(dāng)m≤2，x∈(－m，＋∞)時(shí)，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝2時(shí)，函數(shù)f′(x)＝e－在(－2，＋∞)單調(diào)遞增．又f′(－1)0，x＋2故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一實(shí)根x0，且x0∈(－1，0)．當(dāng)x∈(－2，x0)時(shí)，f′(x)0，從而當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得1ex0＝ln(x0＋2)＝－x0，x0＋21（x0＋1）故f(x)≥f(x0)＋x0＝＋2x0＋2綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)－xx第二篇：利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式龍?jiān)雌诳W(wǎng) ://.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式作者：胡錦秀來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)如果在(a,b)內(nèi)f162。(x)=1x, 當(dāng)x0時(shí), 1=1+x1+xf39。如果題目條件中含“單調(diào)性”或隱含“單調(diào)性”的條件，利用函數(shù)單調(diào)性證明比較簡(jiǎn)單。證明：由f(x)的單調(diào)遞減性得：若0x163。242。af(x)dx 242。2sin(cost)dt，欲證不等式，只需證明cos(sint)179。當(dāng)t206。0（或f162。tf(t)dtf(t)dt，則要證F(b)179。0即g(x)在[a,b]上單調(diào)增加，∵F(a)=0∴F(b)0 a+bbf(x)dx179。0，g39。f(a)g(1)00a1分析：可將此定積分不等式的常數(shù)a變?yōu)樽償?shù)x，利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)：F(x)=242。f(t)g39。0且f39。(t)dt242。g(x)f39。f3(x)dx 00121分析：可將此定積分不等式看成是數(shù)值不等式，并將常數(shù)1變?yōu)樽償?shù)x，：對(duì)任意t206。(t)=2f(t)[1f39。(t)0，t206。只需證恒成立。應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)：（1）k0，0）及時(shí)，在單調(diào)遞減，在）上單調(diào)遞增；（2）k例5 求證 證明：因?yàn)閷?duì)于構(gòu)造以上類型的函數(shù)進(jìn)行推廣，如，亦可轉(zhuǎn)化為的形式。證明：對(duì)于一些結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的不等式，需要統(tǒng)觀全局，整體把握，合理代換，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從而達(dá)到順利求證的目的。分析：應(yīng)用比較法、分析法等證明都較繁瑣，觀察其左、右兩邊為函數(shù)別令對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。f(x)dx]2242。(t)1∴f(t)在[0,1]上嚴(yán)格單調(diào)遞增。f(x)dx]2242。f(x)g39。(t)dt
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