單調(diào)性證明不等式-資料下載頁(yè)
2024-10-30 23:20本頁(yè)面
【正文】 dxf2(t)，顯然有H(0)=0 0tH39。(t)=2f(t)2f(t)f39。(t)=2f(t)[1f39。(t)]Q0f39。(t)1∴f(t)在[0,1]上嚴(yán)格單調(diào)遞增?！鄁(t)f(0)=0∴H39。(t)179。0∴對(duì)任意t206。[0,1]有H(t)179。H(0)=0，F(xiàn)39。(t)0，t206。[0,1]∴F(t)在[0,1]上嚴(yán)格單調(diào)遞增，F(xiàn)(1)F(0)=0即[242。f(x)dx]2242。f3(x)dx 0011評(píng)析：對(duì)于含有定積分的不等式，往往把某一常數(shù)變?yōu)樽償?shù)，利用差式構(gòu)造變上限輔助函數(shù)，再利用變上限積分242。f(t)dt及函數(shù)的單調(diào)性解決。ax參考文獻(xiàn)[1] (上)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007(10).[3] 葉國(guó)菊，[M].北京:清華大學(xué)出版,2009.[4] [M].上海:上海交通大學(xué)出版社,2009.第五篇：巧用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式巧用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式在證明不等式中，通過(guò)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，將常量作為變量的瞬時(shí)狀態(tài)置于構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用其單調(diào)性證明一些不等式十分便捷，以下舉例說(shuō)明。例1 已知求證：。分析：直接求證非常困難，觀察條件及所證結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)a、b、c是對(duì)稱的，變形所證不等式為構(gòu)造函數(shù)。，只需證恒成立。例2 已知a、b。分析：應(yīng)用比較法、分析法等證明都較繁瑣，觀察其左、右兩邊為函數(shù)別令對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。中分構(gòu)造函數(shù)。例3 已知。證法1：因?yàn)樽笥覂蛇叿謩e具有證法2：要證只要證證法3：兩邊寫成設(shè) 后為比值形式，亦可構(gòu)造三角函數(shù)證明。則點(diǎn)A（b,a），B（m，m）在坐標(biāo)系中位置如圖1。例4 設(shè)a0，求證 證明：上述不等式轉(zhuǎn)化為類型，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)。應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)：（1）k0，0）及時(shí)，在單調(diào)遞減，在）上單調(diào)遞增；（2）k例5 求證 證明：因?yàn)閷?duì)于構(gòu)造以上類型的函數(shù)進(jìn)行推廣，如，亦可轉(zhuǎn)化為的形式。分母變?yōu)槭煜さ念愋?，如：? 求證：。證明：對(duì)于一些結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的不等式，需要統(tǒng)觀全局，整體把握，合理代換，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從而達(dá)到順利求證的目的。例7 已知。分析：設(shè)是關(guān)于a,b的二次奇次式。由條件得b0 若令：同樣，證明不等式若能構(gòu)造具有型的函數(shù)，亦可根據(jù)a、b的正負(fù)確定函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)性區(qū)間，同以上方法一樣類似進(jìn)行證明，這里不再綴述。總之，不等式與函數(shù)有著廣泛的聯(lián)系，函數(shù)的單調(diào)性是通過(guò)不等式體現(xiàn)的。因此，在不等式證明時(shí)，注意從題目信息中發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)，通過(guò)聯(lián)想巧妙構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，不失為一種重要而簡(jiǎn)捷的方法。
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