【正文】 面，：設(shè)A179。0，B179。0，則(A+B)n179。An+nA(n1)B，其中n206。N+.證明：由二項(xiàng)式定理可知n(A+B)=229。AniBi179。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。A+nAnn(n1)B第五篇：證明不等式方法探析167。1 不等式的定義用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)所成的式子。在一個(gè)式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號(hào),含sinx163。1，ex＞0，2x＜3，5x185。5不等符號(hào)的式子，＋2y179。2xy，等。根據(jù)解析式的分類也可對(duì)不等式分類，不等號(hào)兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；也分一次或多次不等式。只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。例如是超越不等式。lg(1＋x)＞x不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)“＞”“＜”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)(大于或等于號(hào))、不大于號(hào)(小于或等于號(hào))“179。”“163?！边B接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為F(x,y，L,z)163。G(x,y，L,z)(其中不等號(hào)也可以為＞，179。，＜ 中某一個(gè))，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題。167。2 不等式的最基本性質(zhì)性質(zhì)1：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；(對(duì)稱性)性質(zhì)2：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；(傳遞性)性質(zhì)3：如果x＞y，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x＋z＞y＋z；(加法則)性質(zhì)4：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz；(乘法則)性質(zhì)5：如果x＞y，z＞0,那么xyxy＞；如果x＞y，z＜0，那么； zzzz性質(zhì)6：如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；(充分不必要條件)性質(zhì)7：如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn；性質(zhì)8：如果x＞y＞0，那么x179。，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，下面將介紹一些重要的不等式。nn幾個(gè)簡(jiǎn)單的證明方法一、比較法：ab等價(jià)于ab0；而ab0等價(jià)于a b，關(guān)鍵是要作適當(dāng)?shù)淖冃?，如因式分解、拆?xiàng)、加減項(xiàng)、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因?qū)Ч?，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過(guò)合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，：①添加或舍去一些項(xiàng)，如：a+1a；n(n+1)n； ②將分子或分母放大（或縮?。?③利用基本不等式，如：log3lg5（lg3+lg52)=lglg=lg4； 2n+(n+1)n(n+1)；④利用常用結(jié)論：k+1k=1k+1+k12k；11111111== ；（程度大）22k(k1)k1kk(k+1)kk+1kk111111==()；（程度?。?2(k1)(k+1)2k1k+1kk1五、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，：已知x2+y2=a2，可設(shè)x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。r163。1)；x2y2已知2+2=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；abx2y2已知22=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；ab六、數(shù)學(xué)歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，：第一，：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設(shè)P(n0)成立，且對(duì)于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有不超過(guò)m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)n(例如n=2)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(4)、若P(1)成立，且P(n)對(duì)所有滿足1163。n163。k的n成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個(gè)最小數(shù).(6)、若P(1),P(2)成立，且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(7)、(無(wú)窮遞降法)若P(n)對(duì)某個(gè)n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)對(duì)所有m、構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，構(gòu)造法作為一種重要的化歸手段，是數(shù)學(xué)中一種富有創(chuàng)造性的思維方法，．通過(guò)構(gòu)造幾種數(shù)學(xué)模型，即：函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、復(fù)數(shù)模型、矩陣模型， 構(gòu)造函數(shù)或方程：一、利用函數(shù)的單調(diào)性：利用函數(shù)的單調(diào)性，不但可以證明許多不等式，若x1,x2206。E,x1x2,f(x1)163。f(x2)，則稱f在E上遞增；若f(x1)f(x2)，則稱f在E上嚴(yán)格遞增；若f(x1)179。f(x2)，則稱f在E上遞減；若f(x1)f(x2)，即Df(x)=f(x+Dx)f(x)當(dāng)Dx，不等式：An=a1+a2+L+an179。=Gn，其中ai,bi179。0，i=1,2,L,236。1nx1x239。(229。ak),x185。0239。nk=1證明：令f(x)=239。(a)n,x=0213。k239。238。k=1則f在[165。,165。]上嚴(yán)格遞增(當(dāng)a1a2Lan是不全相等的正數(shù)時(shí))，于是f(0)f(1)，即Gn163。、拋物線(二次方程)技巧：某些代數(shù)式配方后，化為f(x)=ax2+bx+c的形式，若a0，則D=b4ac163。0等價(jià)于f(x)179。0.有些f(x)形式上不是代數(shù)式，例如，f(x)=asinxcosx+b(sinx+cosx)+1,(a0)，令t=sinx+cosx，就可以化為t的二次三項(xiàng)式；有時(shí)也可以利用卡丹公式：三次代數(shù)多項(xiàng)式f(x)=x3+px+q有三個(gè)實(shí)根的充要條件是判別式()+()163。，、極值方法：極值方法包括Lagrange乘數(shù)法、我們可以利用變量的對(duì)稱性，用局部固定法，2p2a1+a2+L+an179。=Gn，其中ai,bi179。0，i=1,2,L,不等式：An=n證明：AG不等式219。求f(x)=(x1x2Lxn)在條件x1+x2+L+xn=(x)=(x1x2Lxn)+l(x1+x2+L+xna).n1nF對(duì)xk求偏導(dǎo)數(shù)Fx39。k=0，得出f(x)=nlxk,k=1,2,L,n.()對(duì)k求和，得到nf(x)=nl(x1+x2+L+xn)=f(x)=la()從()式、()式得出xk=aaaa.于是f在(，L,)點(diǎn)取得最大值nnnnax+x+L+xna，即Gn163。An.=，所以163。=12nnn167。2 微積分法一、微分方法：為證f(x)g(x)，有時(shí)歸結(jié)為證f162。(x)g162。(x)，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，常將積分上限b換成變量x，、積分方法：，除了通常的黎曼積分、勒貝格積分外，不等式：An=242。baf變成F(x)=242。f，對(duì)F求導(dǎo)數(shù)，axa1+a2+L+an179。=Gn，其中ai,bi179。0，i=1,2,L,證明：不妨設(shè)0163。a1163。a2163。L163。an，于是必存在某個(gè)k,1163。k163。n1，使得ak163。Gn163。ak+knGn1ajAn111示An(a,q),Gn表示Gn(a,q)，則1=229。qj242。()dt+229。qj242。()dt179。=1j=k+1n即有 Gn163。、利用中值定理：，它們都是寫(xiě)成等式形式，例如f(b)f(a)=f162。(c)(ba)，式中的c，只知道與a,b,，只要導(dǎo)數(shù)f39。(x)的上、下界：m163。f39。(x)163。M，就得出不等式：m163。f(b)f(a)163。因此，中值定理的實(shí)質(zhì)是由不等式的形式揭示出來(lái)的.