用均值不等式證明不等式[最終定稿]-資料下載頁
2025-10-19 10:42本頁面
【正文】 號(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)證明：(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n兩邊平方,即證((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n(1)如果你知道柯西不等式的一個變式，直接代入就可以了：柯西不等式變式：a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)當且僅當a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^22.(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)(1)琴生不等式:若f(x)在定義域內是凸函數，則nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx顯然，lgx在定義域內是凸函數nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根號(a1a2..an)f(x)在定義域內單調遞增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2..an)(2)原不等式即證：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an先證明a^n+b^n≥a^(n1)b+b^(n1)a做差(ab)(a^(n1)b^(n1))≥02*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n1)a2+a2^(n1)a1+a2^(n1)a3+a3^(n1)a2...an^(n1)a1+a1^a(n1)an=a2(a1^(n1)+a3^(n1))+a3(a2^(n1)+a4^(n1))...≥a2a1^(n2)a3+a2a3^(n2)a1+...≥...≥2na1a2...an即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an(3)數學歸納法:但要用到(1+x)^n1+nx這個不等式，不予介紹(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即證：n次根號(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n左邊=n次根號+n次根號++n次根號+...n次根號由2得和≥n*n次根號(它們的積)所以左邊≥n*n次根號(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)證畢特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b證明：(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2兩邊平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即證(a/2b/2)^2≥0顯然成立2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移項即證(sqrt(a)sqrt(b))≥0顯然成立此不等式中a+b可以表示一條直徑的兩部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直徑的弦，而r≥弦的一半(ab)≥2/1/a+1/b兩邊同時乘上1/a+1/b即證sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。
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