【正文】 明 作3x3正方形表由（*）式，得由均值不等式，得注意到xyz=1，化簡，得例 7 (第31屆IMO備選題)設a,b ,c,d0,且 ab+bc+cd+da=1。求證證明 作4x2長方形表:由（*）式，得因為代入上式左端，所以上述不等式兩邊平方，整理，得極限概念是高等數(shù)學中的重要概念， 極限理論是高等數(shù)學中的基礎理論。高等數(shù)學中有許多重要的概念都是以極限形式來定義的。而極限概念是用不等式刻畫的。這就決定了不等式運算是高等數(shù)學中最基本的運算之一， 因此作為基本不等式之一的均值不等式在解決高等數(shù)學的問題中發(fā)揮著重要的作用。 證明重要極限的存在性。［ １］證明：先證數(shù)列單調遞增。令，則由均值不等式得即 所以數(shù)列單調遞增。再證數(shù)列有上界。下面的證明可以看到一個更強的命題： 數(shù)列以（ k 為正整數(shù)） 為上界。先證不等式：當nk 時，.設 ，.由均值不等式 因此， 其次由，有當nk 時， 任取一個正整數(shù)k，均是數(shù)列的上界。又數(shù)列單調遞增，∴ 當n≤k 時， 不等式仍然成立。因此， 對于數(shù)列（ n=1，2…） 恒有（ k 為正整數(shù)） 。任意選定一個k值，均是數(shù)列的上界。所以數(shù)列單調有界， 由單調有界定理， 數(shù)列極限存在。設極限值為e，即.由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數(shù)列極限存在且其極限也是e。證明如下：記所以數(shù)列 單調減少，且 數(shù)列收斂，且極限也是e。由上面的結果有，兩邊取對數(shù)有由此可以證明數(shù)列收斂。（ 其極限稱為Euler 數(shù)） 求極限解：利用因為有，故 證明積分不等式例1［ 2］ 證明：若函數(shù)f（ x） 在［ a，b］ 連續(xù)，且x∈［ a，b］ ，有f（ x）0，則證明：：與在［ a，b］ 上均可積。應用積分定義，將區(qū)間［ a，b］ 進行n 等分。取極限（ n→∞） 則有例2 ［ 2］ 證明：若函數(shù)在［ a，b］ 上是正值可積的，k=1，2…n，且0ab，則證明：利用有于是：即例3 設f （ x） 在［ ０，１］ 上非負連續(xù)， 證明：證明：由題設知f（ x） ，1nf（ x） 在［ ０，１］ 上可積，將［ ０，１］ n 等分，作積分和 所以由均值不等式得故注1： 此例中的結論僅僅是著名的Jensen 不等式的一個特例。注2：Jensen 不等式： 設μ 是在集Ω 內(nèi)的σ－代數(shù)м 上的正測度，使得μ（ Ω） ＝１，若f 是內(nèi)的實函數(shù)，對所有的x∈Ω，af（ x） b，且φ 是在（ a，b） 上是凸的，則在證數(shù)列收斂時,文獻[ 1 ]中引入的不等式, 不易想到, [ 2 ] 中用到二項式展開式,過程較為繁瑣. 然而利用均值不等式結合單調有界定理證明此問題,分析思路清晰,過程簡潔,便于理解.　單調有界定理與均值不等式為討論方便,將文獻[ 1 ]中定理2. 9和文獻[3 ]中的均值不等式引述如下定理1　(單調有界定理) 在實系數(shù)中,有界的單調數(shù)列必有極限.推論1　在實系數(shù)中,遞增有上界的數(shù)列必有極限.推論2　在實系數(shù)中,遞減有下界的數(shù)列必有極限.定理2　(均值不等式) 設 為n個正實數(shù),則有 (其中“ =”當且僅當時成立) .　均值不等式在數(shù)列收斂證明中的應用問題一:證明數(shù)列收斂證明　由, 猜想數(shù)列為單調遞增數(shù)列,需證, 即證　　因為.其中 0. 由定理2有 其中≠ 1,故“ =”不成立,所以數(shù)列為單調遞增數(shù)列,又因為 其中,故“ =”不成立,故,即上式對一切偶數(shù)成立, 又為單調遞增數(shù)列, 故對一切正整數(shù)n, 有 4, 故有上界.根據(jù)定理1推論1,數(shù)列收斂.下面利用這種方法給出另外兩個問題的證明方法.問題二:證明數(shù)列收斂.證明　比較數(shù)列前幾項, 猜想數(shù)列為單調遞減數(shù)列, 下面需要證明, 即.由定理2　下面證明化簡得 ,即顯然成立.故,所以數(shù)列為單調遞減數(shù)列. 又顯然 0,則數(shù)列有下界.根據(jù)定理1推論2,數(shù)列收斂.問題三:證明數(shù)列收斂證明　由猜想數(shù)列為單調遞增數(shù)列, 需證. 即要證,又.由定理2,所以.　　下面要明證化簡得: ,即有: ,顯然成立.因此, 故數(shù)列為單調遞增數(shù)列. 又,由問題一知. 所以數(shù)列有上界.由定理1推論1,數(shù)列收斂.綜上問題的證明過程中,有一定的分析的思路,過程簡潔,比較容易理解.　 要解決實際問題, 需要運用數(shù)學模型, 而某些數(shù)學模型常用到不等式的知識,. 　例1 　小強家住農(nóng)村,十月一日國慶節(jié)回家,正趕上父親收割莊稼,由于今年大豐收糧食太多,自家糧倉全部裝滿, 還剩下很多. 這時爸爸想出一個主意,決定用一塊長方形木板, 借助兩面成直角的墻,在屋子的墻角處圍成一個直三棱柱的谷倉, 木板可立,可橫. 小強心想,這么多糧食,怎樣圍才能裝最多的糧食呢? 經(jīng)過測算,小強得出滿意的答案,向父親提供了建議,請你敘述小強的做法. 如果換成任意的兩面墻,如何處理?解　小強用直尺測出木板的長為a ,寬為b ,依題意a b 0.1) 以a 作谷倉的底邊,設為底面三角形的面積, 兩直角邊一個是x , 另一個是y , 則 ,且,當且僅當 時,取“= ”.2) 以b 作谷倉的底面, 同1) 可得, 當且僅當時取“ = ”.又 , ∴故把長方形木板的長邊放在底面, ,可簡解如下:設用矩形長a 作直三棱柱的側棱,寬b 作為底面的一條邊,底面另兩邊長分別是x , y ,體積為V ,則 .,整理得,當且僅當x = y 時取“= ”.如果以矩形木板的寬為b 作側棱, 則當x = y時, ..例2 　制作容積一定的有蓋圓柱形罐頭, 當圓柱高h 和底面半徑r 的比為何值時,使用的材料最省? (不計加工損耗)解　設圓柱的體積為V , 則有, , 則圓柱形罐頭的表面積, 當且僅當, 即 時, 材料最省. 此時有 , ∴ h∶r = 2∶1 ,即圓柱形的高與底面半徑之比為2∶1 時,使用的材料最省.例3 　某公司投資興辦甲、乙兩個分公司, 2001年甲分公司獲得利潤320 萬元, 乙分公司獲得利潤720 萬元,以后每年分公司的利潤甲為上年利潤的 ,而乙是上年利潤的 , 預期目標為兩分公司利潤之和是1600 萬元. 從2001 年初起,1) 哪一年兩分公司獲利之和最小。2) 需經(jīng)過幾年即可達到預定目標(精確到1年) .解　1) 設從2001 年起,第n 年兩分公司獲利之和為當且僅當, 即, 即2 n 2 = 2 , n = 2 時等號成立,因此,第二年,即2002 年兩分公司利潤之和最小共960 萬元.2) 由1) 及題意知, 化簡. 設 ( x ≥1) ,原式可化為 ,解得 或(舍去) , 由此, , , n 4 ,即n ≥5 ,即經(jīng)過5 年可達預期目標.點評　此題中可化為 , 屬型參考文獻[ 1 ] (高二)[M ].北京:冶金工業(yè)出版社, 2004[ 2 ] 《高中數(shù)學教材研究》主編李明振.[ 3 ][M].濟南：山東科學技術出版社,2004．[ 4 ][J].成都大學學報,2003（24）：3235．[ 5 ][J].云南民族大學學報,2006(11）：2224．[ 6 ][M].長沙：湖南教育出版社，1992．[ 7 ][M].成都：四川大學出版社,2001．[ 8 ] (ΦT施勒伊費爾(王玉懷譯).，1987,10[ 9 ]［ J］.湖北民族學院學報（自然科學版），1994（ ２） ：8890.[ 10 ]［ J］.青海師專學報，1997（ ４） ：3538.[ 11 ]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析[M ].北京:高等教育出版社, 2001: 265 267.[ 12 ] 劉玉璉,[M ].北京:高等教育出版社, 2003: 198 199.[ 13 ]《數(shù)學手冊》[M ].北京:高等教育出版社, 1979: 105.謝辭感謝我的導師周小紅老師，她嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣；她循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪；從開始的搜集材料，初稿的審核到最后論文的定稿的整個過程中，老師都及時給予我建議，指出不足之處，幫助我更好地組織論文結構，不斷充實論文的內(nèi)容。