用向量可以證明不等式-資料下載頁
2024-11-04 12:20本頁面
【正文】 求差比較法證的．（學生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c33abc =（a＋3）3+c33a2b3ab23abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2（a＋b）c＋c2]3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2acbc＋c23ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2abacbc）又a，b，c∈R＋，則a＋b＋c＞0．由（ab）2≥0，（bc）2≥0，（ca）2≥0，知（ab）2+（bc）2＋（ca）2≥0．進而a3＋b3＋c33abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．師：正確，而且思路很清晰．這個思路你是怎么想出來的？生：我是一看到這個題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號，題目也就證出來了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒分解出來．再試時，我看a3，b3，c3，3abc這四項都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來了．師：數(shù)學中很多時候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實，課本中采用的就是這種證法．這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過程看，“=”出現(xiàn)在（ab）2＋（bc）2＋（ca）2≥0中，這是顯然有：當且僅當a=b，b=c，c=a同時成立，即a=b=c時等號成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當且僅當a=b=c時取“=”號）．時取“=”號）．師：這個定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠不只上述這些，推論也可直接證得，同學們不妨課下試一試．（三）小結(jié)（引導學生歸納總結(jié)）1．已學過的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：“＝”號）．3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．本節(jié)課的課前兩個練習與兩個定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對二者內(nèi)在聯(lián)系的思考． 由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明．擺在我們面前的問題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當，不是證不出來就是難度加大；方法合理使用，會使題目難度大大下降．因此我們不要學過某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．顯然，對于需用基本不等式證明的問題，直接用結(jié)論要比再從頭證一遍容易很多．4．注意：（1）定理使用的條件．只有a2＋b2≥2ab是對任意實數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號成立的條件．（四）布置作業(yè)《高級中學課本代數(shù)下冊（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習1，2．補充題：（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．課堂教學設(shè)計說明這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時又可采用綜合法．因此，我們在課前設(shè)計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使生沒有想到，教師點撥起來也并不困難．而后順著學生用綜合法的需要，介紹了4個基本不等式，在它們的證明過程中，使用綜合法，幫助學生掌握如何用綜合法證明不等式．從教學設(shè)計上，我們力圖從學生的需要出發(fā)，適時地設(shè)計一系列問題，幫助學生抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學到的公式、方法能用、會用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式． 表面上看，本節(jié)練習不夠，但實際上，定理2及推論的證明正是最好的練習．構(gòu)思這個證明，起點要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學生思維，培養(yǎng)學生推理論證能力的絕對機會．我們認為：最好的習題就是定理本身的推證過程．這里又是本節(jié)的一個難點，在此花點功夫、適當展開是應(yīng)當?shù)?；同時學生對用綜合法證明不等式會有更深刻的體驗．因此講透它比做幾個練習更有意義． 對于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔心會沖淡學生對綜合法的認識，在本節(jié)中并未提及．在課堂教學過程中，學生有可能直接證出定理2的推論，這也無妨．一般來講，它同樣是要用到兩項的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學生的實際，順其自然．
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