導(dǎo)數(shù)證明不等式-資料下載頁
2024-10-26 09:50本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)組鄒黎華在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點。本文通過一些實例，來說明利用導(dǎo)數(shù)增證明不等式的基本方法。例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x206。[0,+165。)?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。)是增函數(shù)。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。)上可導(dǎo)。且limf(x)=0=f(0)+x174。0由f39。(x)=11x可得：當(dāng)x206。(0,+165。)時，f39。(x)f(0)=0 =x+1x+1即x－lnx0，所以：x0時，xlnx評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m11ln(1+m)ln(1+n)成立。因為mx111139。證明：設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，則f(x)=2ln(1+x)+xx1+xx1x39。ln(1+x)] 即：f(x)=2[x1+xx1,ln(1+x)179。ln31 因為：x179。2,01+x即要證所以：f(x)0，所以f(x)在[2,+165。)是減函數(shù)，而mn 所以f(m)f(n)，即n39。39。11ln(1+m)ln(1+n)； mnm從而：(1+m)(1+n)。評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx,設(shè)0ab證明：0g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2 2證明：設(shè)g(x)=xlnx,g39。(x)=lnx+1 設(shè)F(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)2則F39。(x)=g39。(x)2[g(a+xa+x)]=lnxln22當(dāng)0xa時，F(xiàn)39。(x)0，當(dāng)xa時，F(xiàn)39。(x)0 因此，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x=a 時，F(xiàn)（x）有最小值F(a)=0又ba，所以0g(a)+g(b)2g(a+b)2設(shè)G(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)(xa)ln2，則G39。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當(dāng)x0時，G39。(x)0，因此G（x）在區(qū)間(0,+165。)內(nèi)為減函數(shù)； 因為G(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。2評注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設(shè)為左端點試一試，就更能體會到其中的奧妙了。通過以上例題，我們可以體會到用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡捷?？傊?，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認真對待，并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。
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