9導(dǎo)數(shù)情境下的不等式證明2-資料下載頁(yè)
2024-10-29 11:20本頁(yè)面
【正文】 )=x－lnx。x206。[0,+165。)?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時(shí)，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。)是增函數(shù)。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。)上可導(dǎo)。且limf(x)=0=f(0)+x174。0 由f39。(x)=11x 可得：當(dāng)x206。(0,+165。)時(shí)，f39。(x)f(0)=0 =x+1x+1 即x－lnx0，所以：x0時(shí)，xlnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。例2：當(dāng)x206。(0,p)時(shí)，證明不等式sinxx成立。證明：設(shè)f(x)=sinxx,則f39。(x)=cosx1.∵x206。(0,p),∴f39。(x)0.∴f(x)=sinxx在x206。(0,p)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)=0.∴f(x)=sinxxf(0)=0, 故當(dāng)x206。(0,p)時(shí)，sinxx成立。點(diǎn)評(píng)：一般地，證明f(x)g(x),x206。(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，如果F39。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)163。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。(a,b)時(shí)，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。x練習(xí)：0時(shí)，證明不等式e1+x+12x成立。2證明：設(shè)f(x)=e1xx12x,則f39。(x)=(x)=e1x,則g39。(x)=0時(shí)，g39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。)上單調(diào)遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。)上恒成立，\f(x)在即f39。(x)0在(0,+165。)恒成立。(0,+165。)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時(shí)，:當(dāng)x1時(shí),有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函lnxln(x+1)數(shù)f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。): 作輔助函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因?yàn)?1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。）因而在內(nèi)恒有f39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。ln(1+x)x,其中x 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現(xiàn)作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設(shè) f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。Q x0 即 1+x0 x20x2\ f162。(x)=0 ,即在(0,+165。)上f(x)單調(diào)遞增1+xx2\ f(x)f(0)=0 \ ln(1+x)x21+x)x。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國(guó)卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。因?yàn)閙11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。
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