利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法-資料下載頁
2025-10-21 22:29本頁面
【正文】 x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x=a 時，F(xiàn)（x）有最小值F(a)=0又ba，所以0g(a)+g(b)2g(a+b)2設(shè)G(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)(xa)ln2，則G39。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當(dāng)x0時，G39。(x)0，因此G（x）在區(qū)間(0,+165。)內(nèi)為減函數(shù)； 因?yàn)镚(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。2評注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就更能體會到其中的奧妙了。通過以上例題，我們可以體會到用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡捷?？傊?，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認(rèn)真對待，并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。第五篇：第五講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知x206。(0,p2)，求證：sinxxtanx證明這個變式題可采用兩種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinxx以后，根據(jù)sinx1sinxx來證明不等式sinx1x；第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=sinx1x和g(x)=xtanx1，其中x206。(0,然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：f(x)=sinx1xf(0)=10）例2 求證：ln(x+1)xp2)技巧一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。利用題目所給函數(shù)證明【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x x+1如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有f(x)163。f(a)（或f(x)179。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．直接作差構(gòu)造函數(shù)證明123【例2】已知函數(shù)f(x)=x2+：在區(qū)間(1,+165。)上，函數(shù)f(x)的g(x)=x23的圖象的下方；首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明111【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(+1)23 當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則xa時，有F(x)F(a)．如果f(a)＝j(luò)(a)，要證明當(dāng)xa時，f(x)j(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－j(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F39。(x)０即可．從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)由條件移項(xiàng)后xf162。(x)+f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf162。(x)f(x)，則移項(xiàng)后xf162。(x)f(x)練習(xí)179。0,f(x)=x1ln2x+2alnx求證：當(dāng)x1時，恒有xlnx2alnx+1(x)=12x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且2b=52a3a2lna，求證：f(x)179。g(x)2(+x)(x)=ln1blnalnb179。x，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有1+(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf162。(x)f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式f(a)f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例3已知mn0,a,b206。R且(a1)(b1)185。0+求證：(an+bn)m(am+bm)n利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知0ab練習(xí)2．當(dāng)x1時,求證:2x3證明：abbap2，求證：tanaatanb1+1 tanbbtana1已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e3．已知函數(shù)f(x)=exln(x+1)1(x179。0)（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若0163。yx，求證：exy1ln(x+1)ln(y+1)求證：(pe+ee)p(pp+ep)e
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