【正文】 對稱性證明不等式形如x+y,a2+b2+c2的式子中任意兩個量交換位置后結果仍不變,這就是“式”對稱, 設a,b,c,d是正數(shù),且滿足a+b+c+d=1,求證 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。6證：由4a+19163。44a+1+294=2a+13 注意到對稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式 已知x,y0并且x+y=1 求證：x2+3xy+2y22xy32x221xy11y24x+21y+2證：因 x2+3xy+2y22xy3=(x+2y)(x+y)2xy3第6頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)=(x+2y3)(x+y+1)0 類似的，2x221xy11y24x+21y+2=(2x+y2)(x11y1)0 故結論成立.（7）用恒等變形推導[2] 求證：對于任意角度q,都有5+8cosq+4cos2q+cos3q≥0證：5+8cosq+4cos2q+cos3q=5+8cosq+4(2cos2q1)+(4cos3q3cosq)=1+5cosq+8cos2q+4cos3q=(1+cosq)(4cos2q+4cosq+1)=(1+cosq)(2cosq+1)2179。0（8）分解為幾個不等式的和或積[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc證： Qb2+c2179。2bc,a0,\a(b2+c2)179。2abc2222b(c+a)179。2abc,c(a+b)179。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.） 設a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。1, 這時 1121,1,179。（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。165。g(x)x174。165。3x3按極限的定義,對于e=,取d=2(1+2)當|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。xi=1,則i=1311127++163。 2221+x11+x21+x310 證：因為12111911x=時有163。,所以,且當 163。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。180。3= 222101+x11+x21+x310故（1）換元法這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代第8頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計) 已知x2+y2163。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。21=2[4]設a,b,c206。R 且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因為a+b+c=1,所以 a+b+g=0于是有a2+b2+c2=+（a+b+g）+（a2+b2+g2）≥.（2）反證法先假設所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個假設出發(fā)進行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結論,從而斷定假設錯誤,[5]求證：由小于1的三個正數(shù)a,b,c所組成的三個積（1a)b,(1b)c,(1c)a,不能同時大于證：（反證法）假設（1a)b,(1b)c,(1c)a都大于則有（1a)b(1b)c(1c)a2***31314141 ① 641a+a246。1但由01a)a≤230。231。247。條件,即有，0(1a)a≤.24232。248。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構造法在證明不等式時,有時通過構造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。180。188。180。 證： 設A=180。180。188。180。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。180。188。180。，352n+142n12342n12n由于,188。，,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。180。188。180。)=222。A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(180。180。188。180。故 180。180。188。180。（4）判別式法12342n11 2n2n+1適用于含有兩個或兩個以上字母不等式,而另一邊是關于某字母的二次式時,[6]x2+x+113求證:≤2≤.x+122x2+x+1 證： 設f(x)=y=2,則(1y)x2+x+1y=0,所以x206。R，x+1當y185。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設a,b為不相等的兩個正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設得a3b3=a2b2222。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c,使得向量成了數(shù)形結合的橋梁,若借助向量的數(shù)量積的性質(zhì), 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。、小結證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學月刊(中學版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術學院學報,2007(4).[3] [J].中國科教創(chuàng)新導刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學報(自然科學版),2007(4).[5] [J].數(shù)學愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術學院學報,2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學報,2006(2).[10] [J].數(shù)學教學研究,1995(2).第13頁（共13頁）