不等式證明方法(二)大全-資料下載頁(yè)
2025-10-20 00:29本頁(yè)面
【正文】 1教學(xué)目的：教學(xué)重點(diǎn)：綜合法、分析法教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用一、復(fù)習(xí)引入：1．重要不等式：如果a,b206。R,那么a2+b2179。2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么a+b222a+b2179。ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).a+b2：ab≤，ab≤（）4． ba+ab≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論 比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關(guān)系——結(jié)論二、講解新課：（一）1．綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）2．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A222。B1222。B2222。L222。Bn222。B3．綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)（二）證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都2．用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：B220。B1220。B2220。L220。Bn220。A3．分析法的思維特點(diǎn)是：4．分析法的書(shū)寫(xiě)格式：要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??這只需要證明命題B2為真，從而又有????這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例1：已知a,b是正數(shù)，且a185。b，求證：a3+b3a2b+ab2轉(zhuǎn)化嘗試，就是不斷尋找并簡(jiǎn)化欲證不等式成立的充分條件，：B220。B1220。B2220。L220。Bn220。A 證明：∵a0,b0,且a185。b∴要證a3+b3a2b+ab2,只要證(a+b)(a2ab+b2)ab(a+b), 只要證a2ab+b2ab,只要證a22ab+b20.∵ab185。0,∴(ab)20即a22ab+b2：分析法的思維特點(diǎn)是：,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對(duì)不等式做這樣或那樣的變形,分析時(shí)貴在變形,不通思變,變則通聯(lián)想嘗試，就是由已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)產(chǎn)生聯(lián)想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質(zhì)做適當(dāng)變形，：A222。B1222。B2222。L222。Bn222。B法二：證明：∵a0,b0,且a185。b ∴a3+ab22a2b,b3+ba22ab2,∴a3+ab2+b3+ba22a2b+2ab2,∴a3+b3a2b+ab2a+a+b法三 179。aab注：綜合法的思維特點(diǎn)是：,，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。例2.（P23例1）已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)6abc證明：∵b+c≥2bc,a＞0,∴a(b+c)≥2abc① 同理 b(c+a)≥2abc②c(a+b)≥2abc③因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca, a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc 法二：ab+bc+ca3abc3333法三：ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb26法四：ab2++ba22法五：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)33a(b2+c2)b(c2+a2)c(a2+b2)例3（P23例2）.已知a1,a2,Lan206。R+，且a1a2Lan=1，求證（1+a1)(1+a2)L(1+an)179。2n改變:同樣的條件,怎樣證明:（2+a1)(2+a2)L(2+an)179。3n證明：Qa1206。R+,\1+1+a1179。a1=a1即a1179。2a1，同理1+a2179。2a2??1+an179。2an因?yàn)閍1,a2,Lan206。R+，由不等式的性質(zhì)，得（1+a1)(1+a2)L(1+an)179。2na1a2Lan=2n因?yàn)閍i=1時(shí)，1+ai179。2ai取等號(hào)，所以原式在a1=a2=L=an=1時(shí)取等號(hào) 變式：已知a1,a2,Lan206。R+，且a1a2Lan=1，求證（2+a1)(2+a2)L(2+an)179。3n例（P24例3）求證2+證（略）四、課堂練習(xí)： 1．設(shè)a, b, c 206。 R，1176。求證：a+b73+6179。2(a+b)2176。求證：a+b+b+c+c+a179。2(a+b+c)3176。若a + b = 1,求證：a++b+163。2證：1176?！遖+b2179。（a+b22222)179。0∴a+b2179。|a+b2|179。a+b2∴a2+b2179。(a+b)2176。同理：b2+c2179。(b+c)，c+a179。(c+a)三式相加：a2+b2+3176。由冪平均不等式：b+c+c+a179。2(a+b+c)(a++b+(a+)163。12)+(b+212)=(a+b+1)==1∴a++b+163。22．已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2+b2)(c2+d2)分析一:用分析法證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd0時(shí),欲證原不等式成立, 只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bcad)2因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c22abcd+a2d2)=(ac+bd)+(bcad)≥(ac+bd)∴(a+b)(c+d)≥|ac+bd|≥ac+2222222五、課后作業(yè)P25習(xí)題2。2 4
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