【正文】 a+a246。1但由01a)a≤230。231。247。條件,即有，0(1a)a≤.24232。248。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)①與②產生矛盾,從而原命題成立.（3）構造法在證明不等式時,有時通過構造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。180。188。180。 證： 設A=180。180。188。180。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。180。188。180。，352n+142n12342n12n由于,188。，,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。180。188。180。)=222。A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(180。180。188。180。故 180。180。188。180。（4）判別式法12342n11 2n2n+1適用于含有兩個或兩個以上字母不等式,而另一邊是關于某字母的二次式時,[6]x2+x+113求證:≤2≤.x+122x2+x+1 證： 設f(x)=y=2,則(1y)x2+x+1y=0,所以x206。R，x+1當y185。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設a,b為不相等的兩個正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設得a3b3=a2b2222。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c,使得向量成了數(shù)形結合的橋梁,若借助向量的數(shù)量積的性質, 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。、小結證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學月刊(中學版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術學院學報,2007(4).[3] [J].中國科教創(chuàng)新導刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學報(自然科學版),2007(4).[5] [J].數(shù)學愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術學院學報,2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學報,2006(2).[10] [J].數(shù)學教學研究,1995(2).第13頁（共13頁）第五篇：不等式的證明方法幾個簡單的證明方法一、比較法：ab等價于ab0；而ab0等價于ab，關鍵是要作適當?shù)淖冃?，如因式分解、拆項、加減項、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因導果，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項適當?shù)姆糯蠡蚩s小，： ①添加或舍去一些項，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮?。?；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度?。┪?、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，：已知x2+y2=a2，可設x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。1，可設x=rcosq,y=rsinq(0163。r163。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設x=asecq,y=btanq；六、數(shù)學歸納法法：與自然數(shù)n有關的許多不等式，可考慮用數(shù)學歸納法證明，：第一，：設P(n)是與n有關的命題，則(1)、設P(n0)成立，且對于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有大于n0的n都成立.(2)、設m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有不超過m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設有無窮多個自然數(shù)n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對所有n成立.(4)、若P(且P(n)對所有滿足1163。n163。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對某個n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設有兩個命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對所有n都成立，，若能注意運用變形和放縮等技巧，,n有關，可考慮用二重數(shù)學歸納法，即若要證命題P(m,n)對所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對所有m,n成立；②設P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學歸納法與其它方法的綜合運用，例如，證明n229。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運用數(shù)學歸納法，反證法與極值法；有時可將n換成連續(xù)量x，、構造法：通過構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，例1 已知a，b206。R，且a+b=：(a+2)+(b+2)179。252.證法一：(比較法)Qa,b206。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。證法二：(分析法)252(當且僅當a=b=時，取等號).(a+2)2+(B+2)179。252220。a+b+4(a+b)+8179。252236。b=1a239。220。237。225122220。(a)179。0239。a+(1a)+4+8179。22238。顯然成立，：分析法是基本的數(shù)學方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)假設(a+2)2+(b+2)2252，則 a2+b2+4(a+b)+8252252.由a+b=1，得b=1a，于是有a2+(1a)2+121246。230。所以(a)0，這與231。a247。179。.所以(a+2)+(b+2)179。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。(a+2)+(b+2)249。2125179。2234。=a+b+4=233。249。()235。222235。＝右：根據不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式230。a+b246。a+b179。2231。247。.232。2248。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。5246。2525230。230。2＝右邊.=231。t+247。+231。t247。=2t+179。2248。2248。22232。232。當且僅當t=0時，：形如a+b=1結構式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因為a206。R，所以D=442(13y)179。0，即y179。故(a+2)+(b+2)179。252.252.下面，：設A179。0，B179。0，則(A+B)n179。An+nA(n1)B，其中n206。N+.證明：由二項式定理可知n(A+B)=229。AniBi179。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。A+nAnn(n1)B