【正文】 yx，求證：exy1ln(x+1)ln(y+1)求證：(pe+ee)p(pp+ep)e。例4 已知0ab練習(xí)2．當(dāng)x1時(shí),求證:2x3證明：abbap2，求證：tanaatanb1+1 tanbbtana1已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e3．已知函數(shù)f(x)=exln(x+1)1(x179。0+求證：(an+bn)m(am+bm)n利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。例3已知mn0,a,b206。x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有1+(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf162。0,f(x)=x1ln2x+2alnx求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有xlnx2alnx+1(x)=12x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且2b=52a3a2lna，求證：f(x)179。(x)f(x)，則移項(xiàng)后xf162。(x)+f(x)，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。(x)０即可．從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。)上，函數(shù)f(x)的g(x)=x23的圖象的下方；首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。f(a)（或f(x)179。ln(x+1)163。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。(0,p2)，求證：sinxxtanx證明這個(gè)變式題可采用兩種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinxx以后，根據(jù)sinx1sinxx來證明不等式sinx1x；第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=sinx1x和g(x)=xtanx1，其中x206。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。第五篇：第五講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。通過以上例題，我們可以體會(huì)到用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡捷。)內(nèi)為減函數(shù)； 因?yàn)镚(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當(dāng)x0時(shí)，G39。(x)0 因此，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。(x)2[g(a+xa+x)]=lnxln22當(dāng)0xa時(shí)，F(xiàn)39。(x)=lnx+1 設(shè)F(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)2則F39。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。11ln(1+m)ln(1+n)； mnm從而：(1+m)(1+n)。)是減函數(shù)，而mn 所以f(m)f(n)，即n39。ln31 因?yàn)椋簒179。證明：設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，則f(x)=2ln(1+x)+xx1+xx1x39。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m11ln(1+m)ln(1+n)成立。(x)f(0)=0 =x+1x+1即x－lnx0，所以：x0時(shí)，xlnx評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。(0,+165。0由f39。)上可導(dǎo)。)是增函數(shù)。)。x206。本文通過一些實(shí)例，來說明利用導(dǎo)數(shù)增證明不等式的基本方法。0。(x)0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時(shí),f39。x∈則f39。/6利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。/2cosx10所以xx179。/2+cosx1值為0再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當(dāng)x0sinxx178。/2cosx如果它要證x178。/6對(duì)于函數(shù)xx179。(a)=12a當(dāng)00。覺得可以就給個(gè)好評(píng)!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時(shí),證明不等式xln(x+1)設(shè)函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導(dǎo)，f(x)39。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。因?yàn)閙11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。(x)0 １+xx2\　xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=0　,即在(0,+165。ln(1+x)x,其中x 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1+x)(x)