導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾個方法(參考版)
2024-10-28 01:40本頁面
【正文】 0。(x)0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時,f39。x∈則f39。/6利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。/2cosx10所以xx179。/2+cosx1值為0再次對它求導(dǎo)數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當(dāng)x0sinxx178。/2cosx如果它要證x178。/6對于函數(shù)xx179。(a)=12a當(dāng)00。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設(shè)函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導(dǎo)，f(x)39。難點(diǎn)在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=0 ,即在(0,+165。ln(1+x)x,其中x 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現(xiàn)作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設(shè) f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因為 1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函lnxln(x+1)數(shù)f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。(0,+165。(x)0在(0,+165。)上單調(diào)遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。(x)=0時，g39。2證明：設(shè)f(x)=e1xx12x,則f39。(a,b)時，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)163。點(diǎn)評：一般地，證明f(x)g(x),x206。(0,p)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)=0.∴f(x)=sinxxf(0)=0, 故當(dāng)x206。(0,p),∴f39。證明：設(shè)f(x)=sinxx,則f39。例2：當(dāng)x206。)時，f39。(x)=11x 可得：當(dāng)x206。且limf(x)=0=f(0)+x174。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。[0,+165。[3]歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.第四篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例1．已知x0，求證
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