導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾個(gè)方法(文件)
【正文】 數(shù)求出極值并判斷時(shí)極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。x163。由于2函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，因而在閉區(qū)間[0,1]上有最小值和最大值。xp+(1x)p163。39。(0)2fn(0)nf(x)=f(0)+(x)+(x)+L(x)+Rn(x)1!2!n!在上述公式中若Rn(x)179。39。39。用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡(jiǎn)，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。(a)=f39。4f(b)f(a)。39。39。39。39。f39。(c)179。[0,+165。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。(x)=11x 可得：當(dāng)x206。例2：當(dāng)x206。(0,p),∴f39。點(diǎn)評(píng)：一般地，證明f(x)g(x),x206。(a,b)時(shí)，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。(x)=0時(shí)，g39。(x)0在(0,+165。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函lnxln(x+1)數(shù)f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。(x)=0 ,即在(0,+165。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國(guó)卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過(guò)這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。(a)=12a當(dāng)00。/2cosx如果它要證x178。/2cosx10所以xx179。x∈則f39。0。(x)0,f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x∈時(shí),f39。/6利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。/2+cosx1值為0再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當(dāng)x0sinxx178。/6對(duì)于函數(shù)xx179。覺(jué)得可以就給個(gè)好評(píng)!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時(shí),證明不等式xln(x+1)設(shè)函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導(dǎo)，f(x)39。因?yàn)閙11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。ln(1+x)x,其中x 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現(xiàn)作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設(shè) f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因?yàn)?1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。(0,+165。)上單調(diào)遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。2證明：設(shè)f(x)=e1xx12x,則f39。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)163。
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