【正文】 ………12 3．2利用柯西不等式………………………………………………………………………13 3．3利用赫爾德不等式……………………………………………………………………13 3．4利用詹森不等式………………………………………………………………………13參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………………………15致謝……………………………………………………………………………………………16 IV前 言在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)極限是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).1 常用方法（作差法）[1]在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)和的大小時(shí)，：作差——變形——判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）.變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等.例1 已知：，求證：.證明 ，故得 .在證題時(shí)，一般在，均為正數(shù)時(shí)，借助或來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大于1或小于1）.例2 設(shè)，求證：.證明 因?yàn)? ，所以 ，.而 ，故 .（逆推法）從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆.例3 求證：.證明 要證，即證，即，.由此逆推即得 .[2]證題時(shí)，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法.例4 已知：，同號(hào)，求證：.證明 因?yàn)?，同?hào)，所以 ，則 即 .[3]先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的.例5 已知，是大于1的整數(shù)，求證：.證明 假設(shè) ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以.[4]把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證. 例6 已知：，求證: .證明 因?yàn)?，所? ，.由柯西不等式所以原不等式獲證.[5]在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較小）的數(shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福胺拧?、“縮”得當(dāng)，：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法.例7 求證： .證明 令則所以 .[6]對于含有的不等式，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知：，求證：.證明 （1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對于大于1的自然數(shù)都成立.在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化.例9 已知：，求證：.證明 設(shè)，則， 所以 .借助三角變換，在證題中可使某些問題變易.例10 已知：，求證：.證明 設(shè)，則；設(shè)，則所以 . [7]通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項(xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.例11 設(shè)，且，求證：.證明 設(shè)，則代入中得 ，即 因?yàn)?，所以? 即 ，解得 ，故.[8]形如的函數(shù)，其中，且為常數(shù)，則當(dāng)?shù)闹抵g越接近時(shí)，的值越大（或不變）；當(dāng)時(shí)，取最大值，即.標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)為常數(shù)時(shí)，有.證明：記，則, 求導(dǎo)得 ，由得 ，即.又由 ,知的極大值點(diǎn)必在時(shí)取得.由于當(dāng)時(shí)，故得不等式.同理，可推廣到關(guān)于個(gè)變元的情形.例12 設(shè)為三角形的三內(nèi)角，求證：.證明 由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)時(shí)， ， 取最大值，故 .應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明.例13（1956年波蘭數(shù)學(xué)競賽題）、為的三邊長，求證：.證明 由海倫公式，其中.兩邊平方，移項(xiàng)整理得而,所以 . 按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.例14 ，且，求證：.證明 因?yàn)?.所以