【正文】 x|179。x179。b|163。(abc)+b2b2+c2c2+a2a3b3c3++163。N*，且各不相同，求證：1+++L+12131aa3an163。7．利用排序不等式證明Gn163。2ca；：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、++L+179。0\ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。2bc,c2+a2179。R+，且ab,，(abc)a+b+c3=a2abc3b2bac3c2cab3=aab3aac3bba3bbc3cca3ccb3ab3a=()bb()cbc3a()cac3179。abba，同理bbcc179。b179。+blgb179。a2163。L163。R+時,a3+b3+c3179。++179。179。179。b179。b+++L+122222n2323nb3bnb11故b1179。1++L+2222n23n所以a1+評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2179。2ab,同理b2+c3179。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。0,求證：x1 +x211133求證：x1x2+x2x3 +x3179。An163。L,各數(shù)利用算術平均大于等于幾何平均即可得，Gn163。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.。n1n1n(1+111111++L+)(1)+(1)+L+(1)23n219。(1+n)123n1111+++L++n123n 219。x1=n，\aa+a2+L+ana1a2++L+n179。0，此處可以把0理解為(x1+x2+x3)，（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,Lan)調(diào)和平均Hn=n111++L+a1a2an 幾何平均Gn=na1a2Lan 算術平均An=a1+a2+L+ann22a12+a2+L+an平方平均Qn=2這四個平均值有以下關系：Hn163。1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4+b4179。2ca；：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、++L+179。a2b+b2c+c2a=aab+bbc+cca179。2,L,bn179。b179。b179。a2+b2+c2（逆序和），同理a2+b2+c2（亂序和）abccab111179。a2+b2+c2179。a2a+b2b+c2ca2b2c2111111179。a1bj1+a2bj2+L+anbjn（亂序和）179。an,b1163。algb+blgc+clga179。0,則lga179。caac，另aabbcc179。(a1a2Lan)a1+a2+L+ann.（3）本題還可用其他方法得證。b179。ab+bc+ca時，可將a2+b21(ab+bc+ca)配方為[(ab)2+(bc)2+(ca)2]，亦可利用a2+b2179。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。2ab,同理b2+c3179。ab+bc+．已知a+b=1,a,b179。R,求證a+b+c163。|a1|+|a2|+L+|an|.ab,ad 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學歸納法、?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，具體地證明一個不等式時， 1．a(chǎn),b,c0,求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。a.（3）||a||b||163。x2179。a163。含絕對值不等式的性質(zhì)：（1）|x|163。N*).對兩個以上不等式進行運算的性質(zhì).（1）ab,bc222。acbc。ab0,ab219。abc≥。bab+ba。若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。當a0時，g(x)在[1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)f(0)≤|f(1)f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(1)=a+b=f(0)f(1)=[f(1)f(0)]≥|f(1)f(0)|≥[|f(1)|+|f(0)|]≥2 ∴2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a思路二：直接利用絕對值不等式為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。這是一個與絕對值有關的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥a，||a||b||≤|a177。根據(jù)表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b24b+f(a)=112的最值，看能否通過最值之間的大小關系進行比較。a+b2a只需證237。2239。實際上就是對所證不等式進行適當?shù)幕?、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。這種引參的思想是高中數(shù)學常用的重要方法。思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想到算術平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關系。試一試行嗎？a2b+cb2+(b+c)≥2a2b+cb2(b+c)=2aa+cc2+(a+c)≥2a+c(a+c)=2ba+b+(a+b)≥2c2a+b(a+b)=2c相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項全消去了。中天教育咨詢電話：04768705333第1頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考ab=12122013年數(shù)學VIP講義22+bc2222+ca2222=212(2ab2222+2bc2222+2ca)22+ca)+(ca2[(ab+bc)+(bc22+ab)]22≥(2abc+2abc2+2abc)=ab(a+b+c)1a+1c+【例5】（1）a，b，c為正實數(shù)，求證：+（2）a，b，c為正實數(shù)，求證：a21bb2≥c21ab+1bc+1ac