利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(參考版)
2024-10-27 18:46本頁(yè)面
【正文】 an。N*)23n2(n+1)【變式6】當(dāng)t1時(shí)，證明：1lntt1 1tx21(x185。0(x1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n1)(2n+1)【引申】求證： 2+2+L+2(n179。(x)（其中g(shù)162。例已知mne,，求證：nm例已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)（1）求f(x)的極小值；（2）若a,b0，求證：lnalnb179。x+1x【變式2】（1）x185。ln(x+1)163。yx，求證：exy1ln(x+1)ln(y+1)求證：(pe+ee)p(pp+ep)e第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式克維教育（82974566）中考、高考培訓(xùn)專家鑄就孩子輝煌的未來(lái)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（三）核心考點(diǎn)五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例4 已知0ab練習(xí)2．當(dāng)x1時(shí),求證:2x3證明：abbap2，求證：tanaatanb1+1 tanbbtana1已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e3．已知函數(shù)f(x)=exln(x+1)1(x179。0+求證：(an+bn)m(am+bm)n利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危瑢⒉坏仁阶C明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問(wèn)題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。例3已知mn0,a,b206。x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有1+(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf162。0,f(x)=x1ln2x+2alnx求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有xlnx2alnx+1(x)=12x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且2b=52a3a2lna，求證：f(x)179。(x)f(x)，則移項(xiàng)后xf162。(x)+f(x)，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。(x)０即可．從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。)上，函數(shù)f(x)的g(x)=x23的圖象的下方；首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。f(a)（或f(x)179。ln(x+1)163。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。(0,p2)，求證：sinxxtanx證明這個(gè)變式題可采用兩種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinxx以后，根據(jù)sinx1sinxx來(lái)證明不等式sinx1x；第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=sinx1x和g(x)=xtanx1，其中x206。一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。第四篇：第五
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