導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾個(gè)方法-閱讀頁(yè)
2024-10-28 01:40本頁(yè)面
【正文】 左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。(0,p)時(shí)，證明不等式sinxx成立。(x)=cosx1.∵x206。(x)0.∴f(x)=sinxx在x206。(0,p)時(shí)，sinxx成立。(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，如果F39。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。x練習(xí)：0時(shí)，證明不等式e1+x+12x成立。(x)=(x)=e1x,則g39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。)上恒成立，\f(x)在即f39。)恒成立。)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時(shí)，:當(dāng)x1時(shí),有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。): 作輔助函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。）因而在內(nèi)恒有f39。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性證明不等式。Q x0 即 1+x0 x20x2\ f162。)上f(x)單調(diào)遞增1+xx2\ f(x)f(0)=0 \ ln(1+x)x21+x)x。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問(wèn)題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過(guò)設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問(wèn)題。第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式?jīng)]分都沒(méi)人答埃。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無(wú)窮大)上為增函數(shù)f(x)f(1)=1ln2o所以xln(x+12..證明：aa^20其中0F(a)=aa^2F39。當(dāng)1/2因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/40即有當(dāng)000,證明：不等式xx^3/6先證明sinx因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinxx=0如果當(dāng)函數(shù)sinxx在x0是減函數(shù)，那么它一定因?yàn)閏osx1≤0所以sinxx是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，知sinx再證xx179。/6sinx當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得1x178。/2+cosx10x0再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x178。/2cosx1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0x178。/6sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0得xx179。0，X∈(0,1)成立令f(x)=xx178。(x)=12x當(dāng)x∈時(shí),f39。(x)故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值為零故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=xx178。i、m、n為正整數(shù)，且1
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