【正文】 A+nAnn(n1)B。AniBi179。An+nA(n1)B，其中n206。0，B179。故(a+2)+(b+2)179。R，所以D=442(13y)179。232。2248。=2t+179。+231。2＝右邊.=231。2525230。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設(shè)a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。.232。2231。a+b246。()=a+b+4=233。2125179。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。179。所以(a)0，這與231。顯然成立，：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)假設(shè)(a+2)2+(b+2)2252，則 a2+b2+4(a+b)+8252252.由a+b=1，得b=1a，于是有a2+(1a)2+121246。a+(1a)+4+8179。(a)179。237。b=1a239。a+b+4(a+b)+8179。證法二：(分析法)252(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取等號).(a+2)2+(B+2)179。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。R，且a+b=：(a+2)+(b+2)179。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個(gè)最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對某個(gè)n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設(shè)有兩個(gè)命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對所有n都成立，若能注意運(yùn)用變形和放縮等技巧，,n有關(guān)，可考慮用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法，即若要證命題P(m,n)對所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對所有m,n成立；②設(shè)P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學(xué)歸納法與其它方法的綜合運(yùn)用，例如，證明n229。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有不超過m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無窮多個(gè)自然數(shù)n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對所有n成立.(4)、若P(且P(n)對所有滿足1163。r163。、小結(jié)證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計(jì))方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學(xué)教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進(jìn)一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(4).[3] [J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007(4).[5] [J].數(shù)學(xué)愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計(jì))社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學(xué)報(bào),2006(2).[10] [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁（共13頁）第五篇：不等式的證明方法幾個(gè)簡單的證明方法一、比較法：ab等價(jià)于ab0；而ab0等價(jià)于ab，關(guān)鍵是要作適當(dāng)?shù)淖冃?，如因式分解、拆?xiàng)、加減項(xiàng)、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因?qū)Ч?，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，： ①添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮?。?；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結(jié)論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度?。┪濉Q元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，：已知x2+y2=a2，可設(shè)x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。1時(shí),Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當(dāng)y=1時(shí),方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計(jì))為了證明不等式的需要,有時(shí)需舍去或添加一些項(xiàng),使不等式一邊放大或縮小,[5]設(shè)a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設(shè)得a3b3=a2b2222。（4）判別式法12342n11 2n2n+1適用于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母不等式,而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí),[6]x2+x+113求證:≤2≤.x+122x2+x+1 證： 設(shè)f(x)=y=2,則(1y)x2+x+1y=0,所以x206。188。故 180。188。A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(180。180。180。352n+142n12342n12n由于,188。188。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。188。 證： 設(shè)A=180。188。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計(jì))①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法在證明不等式時(shí),有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。條件,即有，0(1a)a≤.24232。231。R 且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因?yàn)閍+b+c=1,所以 a+b+g=0于是有a2+b2+c2=+（a+b+g）+（a2+b2+g2）≥.（2）反證法先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯(cuò)誤,[5]求證：由小于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c所組成的三個(gè)積（1a)b,(1b)c,(1c)a,不能同時(shí)大于證：（反證法）假設(shè)（1a)b,(1b)c,(1c)a都大于則有（1a)b(1b)c(1c)a2***31314141 ① 641a+a246。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。180。,所以,且當(dāng) 163。xi=1,則i=1311127++163。165。165。1, 這時(shí) 1121,1,179。2abc,c(a+b)179。2bc,a0,\a(b2+c2)179。6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式 已知x,y0并且x+y=1 求證：x2+3xy+2y22xy32x221xy11y24x+21y+2證：因 x2+3xy+2y22xy3=(x+2y)(x+y)2xy3第6頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計(jì))=(x+2y3)(x+y+1)0 類似的，2x221xy11y24x+21y+2=(2x+y2)(x11y1)0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)[2] 求證：對于任意角度q,都有5+8cosq+4cos2q+cos3q≥0證：5+8cosq+4cos2q+cos3q=5+8cosq+4(2cos2q1)+(4cos3q3cosq)=1+5cosq+8cos2q+4cos3q=(1+cosq)(4cos2q+4cosq+1)=(1+cosq)(2cosq+1)2179。44a+1+294=2a+13 注意到對稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。9.（5）利用式的對稱性證明不等式形如x+y,a2+b2+c2的式子中任意兩個(gè)量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”對稱, 設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且滿足a+b+c+d=1,求證 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。99, 又a+b+c=1得 163。9第5頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計(jì))分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯(lián)系,：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知a+b+c3 179。a2+b2+c2ab+bc+ca。+ann≤a21+a2+188。+1≤na1a2188。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當(dāng)a=b=時(shí)有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1