不等式證明的若干種方法_畢業(yè)論文(參考版)
2024-08-31 17:15本頁面
【正文】 也祝愿學(xué)校的每一位師長都幸?？鞓?。”大學(xué)四年，但它給我的影響卻不能用時間來衡量，這四年來，我經(jīng)歷過的所有事，結(jié)交的所有人，都將是我以后生活中回味一輩子的寶貴精神財富，也是日后我為人處事的指南針。在此，要特別向她道聲謝謝。我想借此機會感謝四年來給我?guī)椭乃欣蠋?、同學(xué)、家人、親戚，和你們之間的友誼是我人生的財富，是我生命中不可或缺的一部分。我從中明白了做每一件事，不必過于在乎最終的結(jié)果，可貴的是在做事過程中的收獲。 總之，不等式的證明方法有很多，我們應(yīng)該在教學(xué)和學(xué)習中努力將這些 好的方法發(fā)揚光大，使我們的教學(xué)和學(xué)習更加輕松。39。 19 8 利用詹森不等式證明 詹森不等式：若 f 為 ],[ ba 上凸函數(shù)，則對任意0],[ ?? ii bax ? 1),...,2,1(1 ?? ??ni ini ?，有 )()(11 ini iini i xfxf ?? ?? ? ??． 例 證明：不等式 cbacba cbaabc ???3)( ,其中 a ， b ， c 均為正數(shù) 證明：設(shè) xxxf ln)( ? ， 0?x ，由 )(xf 的一階和二階導(dǎo)數(shù) 1ln)(39。)()( ???? fab afbf ． 即? abab ??? lnln ? abab ???ln而ab 111 ???， 故有a ababb ab ????? ?． 即 a ababb ab ???? ln ． 故原不等式成立。 ? ． 例 證明： a ababb ab ???? ln ，其中 ba??0 ． 證明：設(shè) ],[,ln)( baxxxf ?? ， 顯然 )(xf 在 ],[ ba 上滿足拉格朗日中值定理的條件，且xxf 1)(39。 17 6 利用施瓦茨不等式證明 施瓦茨不等式：若 f 和 g 在 ],[ ba 上可積，則 dxxgdxxfdxxgxf bababa )()())()(( 222 ??? ??． 例 證明：若 f 在 ],[ ba 上可積，則 dxxfabdxxf baba )()())(( 22 ?? ?? ． 證明：根據(jù)施瓦茨不等式有： dxxfdxdxxfdxxf babababa )(1)1)(())(( 2222 ???? ???? dxxfab ba )()( 2??? ． 所以 dxxfabdxxf baba )()())(( 22 ?? ?? ． 故原不等式成立。 證明 : ∵ b2+c2≥2bc, a0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理， b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 因為 a， b， c不全相等， 所以 上述三個不等式中等號不能同時成立， 因此 abcbaccabcba 6)()()( 222222 ?????? ． 故原不等式成立。 均值不等式是高考中一個重要知識點，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。 故原不等式成立。 證明：因?qū)τ谌我獾?Rx? ， 有 )()()( xhxgxf ?? ，且 )(xf ， )(xg 和 )(xh 均為增函數(shù)，所以有 ))(())(())(())(())(( xhhxhgxggxgfxff ???? ． 即 ))(())(())(( xhhxggxff ?? ． 故原不等式成立。則 xxxx ln,ln 在（ 1,2）均可導(dǎo)，由定積分性質(zhì)可知 x d xxx d xx lnln 2121 ?? ? ． 故原不等式成立。 向量法 利用向量的數(shù)量積及不等式關(guān)系 |||| nmnm ??? 例 已知 a、 b、 c 都是正實數(shù)，求證 2222 cbaba cca bcb a ???????? ． 證明：設(shè) ),(ba cca bcb am ????， ),( bacacbn ???? ，則 2)(2 )(|| )(||2222222 cbacba cban nmmba cca bcb a ????? ???????????． 2222 cbaba cca bcb a ????????? ． 故原不等式成立。 利用冪級數(shù)展開式證明不等式 例 當 )1,0(?x ，證明 xexx 211 ??? . 證明： 因 xx??11 ， xe2 分別可寫成冪級數(shù)展開式： xx??11 = ...)...1)(1( 2 ?????? nxxxx = . . .2. . .221 2 ????? nxxx , )1,0(?x 。 例 設(shè) ,a b c R? ， 求證： 2 2 2a b c a b b c c a? ? ? ? ?． 證： 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )f a a b c a b b c c a a b c a b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 2 2 2 2( ) 4 ( ) 3 ( ) 0b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 因為 2a 的系數(shù)為 10? ， ? ( ) 0fa? ． 故 原不等式成立。 判別式法。 11 例 求證： 1 1 11223 nn? ? ? ???? ? *()nN? 證：（ 1）當 1n? 時，左邊 =1，右邊 =2 不等式顯然成立。 n 取第一個數(shù)值 0n 0( *)nN? 時，不等式成立， n 取某一自然數(shù) 0()k k n? 時，不等式成立。 ?a,b,c 是三角形 ABC 的三邊長 . ? cba ?? ， )()( cfbaf ??? ， 即 mc cmba ba ???? ? ， 又 mba bamba bmba amb bma a ?? ???????????? ． ????? mb bma a mc cmba ba ???? ? ． ? mc cmb bma a ????? . 故原不等式成立。過程簡單，一目了然。 例 求證：2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ? *()nN? 證： * ,2k N k n? ? ?有21 1 1 1( 1 ) 1k k k k k? ? ???． 10
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