【正文】 An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。N+.證明：由二項(xiàng)式定理可知n(A+B)=229。0，則(A+B)n179。252.252.下面，：設(shè)A179。0，即y179。當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設(shè)y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因?yàn)閍206。22232。2248。t247。t+247。230。5246。2248。247。a+b179。＝右：根據(jù)不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式230。222235。235。249。2234。(a+2)+(b+2)249。.所以(a+2)+(b+2)179。a247。230。22238。0239。225122220。220。252236。252220。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。252.證法一：(比較法)Qa,b206。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，反證法與極值法；有時(shí)可將n換成連續(xù)量x，、構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，例1 已知a，b206。n163。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；六、數(shù)學(xué)歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，：第一，：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設(shè)P(n0)成立，且對于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識(shí)由于獨(dú)有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn),使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁,若借助向量的數(shù)量積的性質(zhì), 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。R，x+1當(dāng)y185。180。180。180。180。)=222。188。,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。180。180。180。180。180。180。248。247。1但由01a)a≤230。21=2[4]設(shè)a,b,c206。3= 222101+x11+x21+x310故（1）換元法這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代第8頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì)) 已知x2+y2163。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。 2221+x11+x21+x310 證：因?yàn)?2111911x=時(shí)有163。3x3按極限的定義,對于e=,取d=2(1+2)當(dāng)|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。g(x)x174。（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當(dāng)x2(1+2)時(shí),有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項(xiàng)分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.） 設(shè)a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。2abc2222b(c+a)179。0（8）分解為幾個(gè)不等式的和或積[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc證： Qb2+c2179。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。6證：由4a+19163。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。1113++abc1a1b1c所以 a+b+c179。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號(hào),則+≥2；若a,b,c均為正數(shù),則++≥+b2a+b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥11133++abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立） 若a,b,c0,且a+b+c=1,求證 ++179。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡捷①對實(shí)數(shù)a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。an≤a1+a2+188。an都是正實(shí)數(shù),則：111aa+12+188。b時(shí)，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a=+xab2411b= x,(|x|且x185。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學(xué)歸納法不易證明,++188。0\當(dāng)x206。此方法靈活性大,需反復(fù)練習(xí).（3）分析法：當(dāng)綜合法較困難或行不通時(shí),可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))（4）數(shù)學(xué)歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時(shí)使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。證明。正解：應(yīng)用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當(dāng)x0,y0時(shí)，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時(shí),所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表注：綜合評(píng)分179。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。2bc+b1倍數(shù)添項(xiàng)若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。例9：已知p