【正文】 簡(jiǎn)要的介紹。R,k206。12(1+1+1)=所以abb+c+c+a+c9a+b179。231。248。b247。232。1246。,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，具x+y+z＝1求證：證：構(gòu)造向量：ar=(x+y,x,y),br=(y+z,y,z),則cr=(z+x,z,x).ar+br+cr=(2,1,1),由ar+br+cr179。(B+C)+(A+C)+(A+B)249。179。+y247。61232。1230。6231。48179。z2=(x)231。n[，]可=0y,=時(shí)0w取最小值,=,y=32時(shí)，w取最大值。三角函數(shù)蘊(yùn)涵著豐富的公式與性質(zhì),求運(yùn)用這些公式與性質(zhì)巧妙地解決某些不等式的證明問(wèn)題 例,b,c,x,滿y足zcy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c求證:xy1+x+1+y+z1+z179。u+vu+w247。248。所以不等式左邊179。(u2uv+v2)+(v2vw+w2)+(u2uv+w22235。(98x8+81x8)249。x+y3+z)=當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=.如果不等式A179。(1+xi)=n+1i=11xii=1nn222B+A=229。n21x2246。n的形式,然后再應(yīng)用上述配復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,三角形式與幾何形式將代數(shù),巧妙運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)也可以使很多問(wèn)題”柳暗花明”,y,z206。231。246。247。2247。1246。z2=231。+xi2248?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。2bc+b正解：應(yīng)用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當(dāng)x0,y0時(shí)，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時(shí),所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表注：綜合評(píng)分179。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學(xué)歸納法不易證明,++188。an≤a1+a2+188。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。2abc2222b(c+a)179。3x3按極限的定義,對(duì)于e=,取d=2(1+2)當(dāng)|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。21=2[4]設(shè)a,b,c206。180。180。)=222。180。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；六、數(shù)學(xué)歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，：第一，：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設(shè)P(n0)成立，且對(duì)于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。225122220。a247。249。a+b179。230。22232。0，則(A+B)n179。N+.證明：由二項(xiàng)式定理可知n(A+B)=229。當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設(shè)y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因?yàn)閍206。t+247。247。235。.所以(a+2)+(b+2)179。0239。252220。n163。R，x+1當(dāng)y185。180。180。180。1但由01a)a≤230。 2221+x11+x21+x310 證：因?yàn)?2111911x=時(shí)有163。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項(xiàng)分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.） 設(shè)a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。6證：由4a+19163。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡(jiǎn)捷①對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。證明。2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12s2m2θ+cos2θcosθ例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。解z1+z2+z2179。+zi,22232。構(gòu)造復(fù)數(shù)：z1=231。231。2x2+z2+xz=230。2247。232。1230。in248。n2ii=1n(1xi)nn179。n的和形式,則配上對(duì)應(yīng)項(xiàng)為nm177。9247。=230。u3+v3w3+v3u3+v3246。111+cosC179。cos2Bv3230。又令u=cotA,v=cotB,w=,v,w206。w163。2248。故原命題得證。xz247。1230。16231。6231。例+b+c206。111249。5．倒數(shù)變換法這里所說(shuō)的倒數(shù)變換是指將每一個(gè)字母都用其倒數(shù)的形式來(lái)代替，對(duì)一些分式不等式采用這一變換后，有時(shí)可將式子的結(jié)構(gòu)化簡(jiǎn)從而為不等式的證明找到契機(jī)。2a+b247。+248。163。247。247。當(dāng)直接運(yùn)用重要不等式較難達(dá)到目標(biāo)時(shí)，有時(shí)可引入?yún)?shù)作為待定系數(shù)再根據(jù)題意解方程達(dá)到目標(biāo)。證：因?yàn)閍2+b22kab=1,所以(akb)2+2=1L(1)同樣的，2+(kxy)2=1L(2)運(yùn)用柯本不等式式解：（1）左*（2）左179。例1，已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)179。0.\(ab+cd)(ac+bd)179。,b,c206。231。231。1231。x2+y2246。bz247。b令a=1+b=1即a=b=22ab解xy+2yz163。證：令A(yù)＝1a,B=b,C1=c,則A，B，C206。++235。y4x246。4z232。248。61232。232。0,x2+(yz)2=1,求證：5163。90o,PA=易知OP=以sinq＝PAOP,163。R,求