【正文】 3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。s2m2θ+cos2θcosθ1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。參考文獻：[1]中學數(shù)學研究 [2]中學教研 [3]中學數(shù)學教學 [4]高中數(shù)學 第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。解z1+z2+z2179。+xi2248。z3=231。1246。+zi,22232。z2=231。1246。+yi,22232。構(gòu)造復數(shù)：z1=231。1246。2247。x247。231。2247。246。z+x246。2x2+z2+xz=230。247。232。231。2247。246。y+z246。同理:y2+z2+yz=230。232。231。2y247。232。1230。n的形式,然后再應(yīng)用上述配復數(shù)的代數(shù)形式,三角形式與幾何形式將代數(shù),巧妙運用復數(shù)的性質(zhì)也可以使很多問題”柳暗花明”,y,z206。n(其中m為常數(shù))的形式,此時可先將其化為1mm177。2n1nB2=2n1n(n+1+A)2從而易推得A179。in248。n21x2246。n2+2n11i=1n(1x=229。n1+2nxi230。n2ii=1n(1xi)nn179。(1+xi)=n+1i=11xii=1nn222B+A=229。1則i=11xinBA=229。R2,且x+x+L+xn=1.求證x2n1x+x11x+L+x21x179。n的和形式,則配上對應(yīng)項為nm177。x+y3+z)=當且僅當x=y=z=.如果不等式A179。1z179。因此x(1x)163。9247。9234。=230。(98x8+81x8)249。163。R+且x4+y4+z4=證x3z31x+y31y+1z179。(u2uv+v2)+(v2vw+w2)+(u2uv+w22235。248。+u+v+232。u3+v3w3+v3u3+v3246。所以不等式左邊179。v+w247。232。111+cosC179。248。232。同理1+cosB179。cos2Bv3230。u+vu+w247。2231。u2u230。又令u=cotA,v=cotB,w=,v,w206。三角函數(shù)蘊涵著豐富的公式與性質(zhì),求運用這些公式與性質(zhì)巧妙地解決某些不等式的證明問題 例,b,c,x,滿y足zcy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c求證:xy1+x+1+y+z1+z179。3s(ianb)+(bgs)+in(ga)163。例,b,g206。w163。n[，]可=0y,=時0w取最小值,=,y=32時，w取最大值。sinq163。q163。2248。z2=(x)231。x+y163。例179。故原命題得證。48179。yz247。16231。xz247。6231。247。x+y+9y246。1230。1230。48由均值不等式解1230。yz247。16231。61232。xz247。1230。6231。+y247。1230。b 48證：令b+3c=,則x+a9cb+3c+b8c+4a+3a+2b=1230。例+b+c206。179。B+CA+CA+B234。111249。(B+C)+(A+C)+(A+B)249。R，且ABC＝1此式左邊＝A+B+CA+B+C+B+CB+C+A+C+AA+B－3＝12233。R+,且abc=1,求證：11a(b+c)+b(a+c)+1c(a+b)179。5．倒數(shù)變換法這里所說的倒數(shù)變換是指將每一個字母都用其倒數(shù)的形式來代替，對一些分式不等式采用這一變換后，有時可將式子的結(jié)構(gòu)化簡從而為不等式的證明找到契機。,y,z是非負實數(shù)，具x+y+z＝1求證：證：構(gòu)造向量：ar=(x+y,x,y),br=(y+z,y,z),則cr=(z+x,z,x).ar+br+cr=(2,1,1),由ar+br+cr179。x+y2+z)即xy+2yzx2+y2+z163。248。2a+b247。1246。248。by+232。+248。232。230。a1231。163。b247。z246。)230。247。248。246。231。247。231。246。證：對不等式左邊分子式分母直接運用均值不等式顯然達到目標，為此引入待定系數(shù)a,b從而有：xy+2yz=2230。當直接運用重要不等式較難達到目標時，有時可引入?yún)?shù)作為待定系數(shù)再根據(jù)題意解方程達到目標。12(1+1+1)=所以abb+c+c+a+c9a+b179。R，求證acb+c+bc+a+a+b179。成立2．配湊常數(shù)法常數(shù)在不等式證明當中有著舉足輕重的作用，充分發(fā)揮好常數(shù)的“過渡”功能，將使證明的解決如虎添翼。證：因為a2+b22kab=1,所以(akb)2+2=1L(1)同樣的，2+(kxy)2=1L(2)運用柯本不等式式解：（1）左*（2）左179。R,k206。(ab+cd)(ac+bd)179。0,ac+bd2179。例1，已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)179。第一篇：證明不等式的幾種方法證明不等式的幾種方法黃啟泉04數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學1班30號近幾年來,有關(guān)不等式的證明問題在高考、競賽中屢見不鮮，由于不等式的證明綜合性強，對學生的思維靈活性與創(chuàng)造性要求較高，因此，許多考生往往“望題生嘆”，本人通過對該類題目認真分析與研究，總結(jié)以下幾種解題方法，下面結(jié)合一些熱點題加以簡要的介紹。1． 運用重要不等式法，一些重要不等式如均值不等式，柯西不等式等在證明一些不等式題目中往往能取得一種立桿見影的效果。4abcd證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得ab+cd2179。0.\(ab+cd)(ac+bd)179。4abcd ,b,x,y,k206。1,且a2+b22kab=1,x2