不等式證明的若干種方法_畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2024-09-06 18:40本頁(yè)面
【正文】 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 11 [ ( ) ( ) ( ) ]1 2 3 1 2 2 3 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??111 (1 ) 2 2nn? ? ? ? ? ?． 所以 2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ?． 故原不等式成立。 放縮法 放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。 例 已知 33 2 , ( , )a b a b R? ? ? 求證 ： 2ab??． 證：假設(shè) 2ab??成立則 3( ) 8ab??． 即 3 3 2 23 3 8a b a b a b? ? ? ?332ab?? ( ) 2ab a b? ? ?． 2 2 3 3( ) ( ) 2a b a a b b a b? ? ? ? ? ?． 22( ) ( ) ( )a b a b a b a a b b? ? ? ? ? ?． 2ab??． 22ab a ab b? ? ? ?由此得 2( ) 0ab??，這是不可能的， 得出矛盾。 反證法 反證法的原理是：否 定之否定等于肯定。 增量代換法 在對(duì)稱式 (任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變 )和給定字母順序 (如 a＞ b＞ c)的不等式， 常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。 換元法 換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這個(gè)不等式成立，這種證明方法叫做分析法。 例 已知 ab? 且 ,ab R?? 求證： 3 3 2 2a b a b ab? ? ?． 證： ab? 所以 2 2 2( ) 0 2 0a b a a b b? ? ?? ? ? ? 8 22a ab b ab?? ? ? ?兩邊同時(shí)乘 ab? 得 22( ) ( ) ( )a a b b a b a b a b? ? ? ? ?即 3 3 2 2a b a b ab? ? ?． 故原不等式成立。 例 設(shè) 0??ba ，求證： abba baba ? . 分析： 對(duì)于含有冪指數(shù)類的用作 商法 證明 因?yàn)? 0??ba ，所以 1?ba ， 0??ba . 而 1?????????baabbababa ba，故 abba baba ? ． 故原不等式成立?！眮?lái)確定 a ， b 大小關(guān)系的方法。 7 2 利用常用方法證明不等式 比較法 所謂比較法，就是通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù) a 與 b 的差或商的符號(hào)（范圍）確定 a 與 b 大小關(guān)系 的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑 。 不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要 的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。 ................................................................................................................11 導(dǎo)數(shù)法 .......................................................................................................................11 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式證明不等式 ...................................................................................12 向量法 .......................................................................................................................12 利用定積分性質(zhì)證明不等式 ......................................................................................13 3 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式 .............................................. 14 4 利用柯西不等式證明 .................................................... 15 5 利用均值不等式證明 .................................................... 16 6 利用施瓦茨不等式證明 .................................................. 17 7 利用中值定理法證明不等式 .............................................. 18 拉格朗日中值定理： ................................................................................................18 積分第一中值定理： ...................................................................................................18 8 利用詹森不等式證明 .................................................... 19 致謝 ...................................................................... 20 參考 文獻(xiàn) .................................................................. 21 6 1 前言 不等式的證明問(wèn)題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，加上無(wú)固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大，
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